4 Mostre que a equação x^{2}+y^{2}+z^{2}-10 x-2 y+6 z=-31 representa uma esfera e determine seu centro e raio. Qual é a interseção dessa esfera com o plano?

Passo 1

O enunciado nos dá a equação
x^{2}+y^{2}+z^{2}-10x-2y+6z=-31
e pede para mostrarmos que ela representa uma esfera, determinarmos seu centro e raio e, em seguida, encontrarmos sua interseção com um plano (cuja equação, porém, não foi fornecida).

Passo 2

Para identificar a esfera, vamos completar quadrados em x, y e z. Escrevendo
x^{2}-10x + y^{2}-2y + z^{2}+6z = -31
adicionamos e subtraímos os termos que completam cada quadrado:
x^{2}-10x+25 \;-\!25 \;+\; y^{2}-2y+1 \;-\!1 \;+\; z^{2}+6z+9 \;-\!9 \;=\;-31.

Passo 3

Agrupando os quadrados perfeitos e somando as constantes obtemos
(x-5)^{2} + (y-1)^{2} + (z+3)^{2} \;-\;(25+1+9) = -31 \quad\Longrightarrow\quad (x-5)^{2} + (y-1)^{2} + (z+3)^{2} = 4.
Logo, é uma esfera de centro
C = (5,\,1,\,-3)
e raio
r = \sqrt{4} = 2.

Passo 4

Para calcular a interseção da esfera com um plano, é imprescindível saber a equação desse plano. Como o enunciado não fornece a reta ou o plano em questão, não há como determinar a interseção.

Resposta

A equação dada representa uma esfera de centro \,(5,1,-3) e raio 2.
Não é possível encontrar a interseção com o plano porque a equação desse plano não foi informada.

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