Sejam A, B e O pontos do plano.
a. Mostre que um ponto P pertence ao segmento A B se, e somente se, existe t \in[0,1], tal que:
\overrightarrow{O P}=(1-t) \overrightarrow{O A}+t \overrightarrow{O B}
Observação: Verifique que a equação (3.11) não depende do ponto O. Portanto, o número t é determinado a partir de A, B e P.
b. Em particular, mostre que o ponto médio do segmento A B é obtido fazendo t=\frac{1}{2} na equação (3.11).
c. Mostre que a equação (3.11) é uma equação vetorial paramétrica da reta r que passa pelos pontos A e B, quando consideramos o parâmetro t percorrendo todo o \mathbb{R}.

Passo 1

O enunciado dá três pontos A, B e O do plano e apresenta a equação vetorial (3.11)
\overrightarrow{OP}=(1-t)\overrightarrow{OA}+t\overrightarrow{OB}.
As perguntas são:
  • (a) Mostrar que um ponto P pertence ao segmento AB se, e somente se, existe t\in[0,1] satisfazendo a equação acima.
  • (b) Mostrar que o ponto médio de AB é obtido tomando t=\tfrac{1}{2} na equação.
  • (c) Mostrar que, se deixarmos t variar por todo \mathbb{R}, a mesma equação é a equação vetorial paramétrica da reta r que passa por A e B.
Informações relevantes fornecidas:
  • A,B,O são pontos dados do plano.
  • A equação (3.11) relaciona o vetor posição de P (relativo a O) com os vetores posições de A e B.
  • Deve-se verificar também que a equação não depende da escolha do ponto O (isto será usado para concluir que t é determinado por A,B,P).

Passo 2

Preparando ferramentas e definições (coisa boa para a prova): explico conceitos que serão usados e fórmulas básicas de vetores posição.
  • Se, para um ponto X, chamamos \overrightarrow{OX} o vetor posição de X relativo a O, então os vetores posição satisfazem a regra de soma:
\overrightarrow{OX}+\overrightarrow{XY}=\overrightarrow{OY}.
Em particular:
\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}.
  • Definição útil: dizemos que P pertence ao segmento AB quando P é um ponto da reta que passa por A e B e fica entre A e B. Isso é equivalente à existência de um escalar s\in[0,1] tal que
\overrightarrow{AP}=s\,\overrightarrow{AB}.
Essa é uma definição vetorial do segmento: s=0 corresponde a P=A, s=1 a P=B, e valores entre 0 e 1 dão pontos entre A e B.

Passo 3

Prova da implicação direta: se existe t\in[0,1] tal que \overrightarrow{OP}=(1-t)\overrightarrow{OA}+t\overrightarrow{OB}, então P pertence ao segmento AB.
Começo manipulando a equação dada: subtraio \overrightarrow{OA} dos dois lados para isolar o vetor \overrightarrow{AP}:
\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OA}=t\bigl(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}\bigr).
Pela identidade \overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{AP} e \overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{AB}, isso fica
\overrightarrow{AP}=t\,\overrightarrow{AB}.
Como assumimos t\in[0,1], esta igualdade diz exatamente que P está em uma posição sobre a reta AB e que o vetor \overrightarrow{AP} é uma fração t do vetor \overrightarrow{AB}. Pela definição do segmento (Passo 2), isso significa que P pertence ao segmento AB. Assim, a existência de t\in[0,1] que satisfaz (3.11) implica P\in AB.

Passo 4

Prova da implicação recíproca: se P pertence ao segmento AB, então existe t\in[0,1] tal que \overrightarrow{OP}=(1-t)\overrightarrow{OA}+t\overrightarrow{OB}.
Pela definição do segmento (Passo 2), existe s\in[0,1] com
\overrightarrow{AP}=s\,\overrightarrow{AB}.
Agora escrevo \overrightarrow{OP} em termos de \overrightarrow{OA} e \overrightarrow{AP}:
\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{OA}+s\,\overrightarrow{AB}.
Substituo \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA} e obtenho
\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+s\bigl(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}\bigr)=(1-s)\overrightarrow{OA}+s\overrightarrow{OB}.
Portanto, tomando t=s (que pertence a [0,1]), obedece-se à equação (3.11). Assim a condição é também suficiente. Concluímos a equivalência pedida no item (a).
Observação sobre unicidade de t: se \overrightarrow{AB}\neq\overrightarrow{0} (ou seja, A\neq B), a igualdade \overrightarrow{AP}=t\overrightarrow{AB} determina t de forma única, pois se t_1\overrightarrow{AB}=t_2\overrightarrow{AB} então (t_1-t_2)\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{0} e segue t_1=t_2. No caso degenerado A=B, o segmento é o ponto A e a equação vale para qualquer t, mas isto é um caso trivial.

Passo 5

Verificação de que a equação não depende do ponto O (isso explica por que t é determinado por A,B,P). A forma equivalente que apareceu nas manipulações é
\overrightarrow{AP}=t\,\overrightarrow{AB},
e essa igualdade envolve apenas vetores \overrightarrow{AP} e \overrightarrow{AB}, que são independentes da escolha do ponto O. Como (3.11) é algebraicamente equivalente a essa igualdade (basta subtrair \overrightarrow{OA} de ambos os lados), a representação não depende de qual O usamos para escrever vetores posição; logo t é caracterizado apenas por A,B,P.

Passo 6

Parte (b) — ponto médio: mostrar que tomar t=\tfrac{1}{2} dá o ponto médio de AB.
Seja M definido por
\overrightarrow{OM}=\tfrac{1}{2}\,\overrightarrow{OA}+\tfrac{1}{2}\,\overrightarrow{OB}.
Usando a mesma transformação de antes:
\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{OM}-\overrightarrow{OA}=\tfrac{1}{2}\bigl(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}\bigr)=\tfrac{1}{2}\,\overrightarrow{AB}.
Isto mostra que \overrightarrow{AM}=\tfrac{1}{2}\,\overrightarrow{AB}, ou seja, M é o ponto sobre a reta AB que está à metade do caminho de A para B. Logo AM=MB e M é o ponto médio. Assim, tomar t=\tfrac{1}{2} na equação (3.11) fornece exatamente o ponto médio de AB.

Passo 7

Parte (c) — equação paramétrica da reta quando t\in\mathbb{R}.
A mesma identidade vetorial, escrita como
\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+t\bigl(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}\bigr),
pode ser vista como uma parametrização da posição de P em função do parâmetro real t. Para cada t\in\mathbb{R} obtemos um ponto P(t). Quando t varia por todo \mathbb{R}, o vetor \overrightarrow{AP}=t\overrightarrow{AB} percorre todos os múltiplos de \overrightarrow{AB}, isto é, todos os vetores colineares com \overrightarrow{AB}. Portanto os pontos obtidos são exatamente todos os pontos da reta que contém A e B. Observações concretas:
  • t=0 P=A.
  • t=1 P=B.
  • Se t\in(0,1) obtém-se pontos entre A e B (segmento).
  • Se t<0 obtém-se pontos da reta no lado de A que extrapolam além de A.
  • Se t>1 obtém-se pontos além de B.
Dessa forma a equação (3.11) é a equação vetorial paramétrica da reta r que passa por A e B, quando permitimos t percorrer todo \mathbb{R}.

Resposta

(a) P\in AB se, e somente se, existe t\in[0,1] tal que \displaystyle \overrightarrow{OP}=(1-t)\overrightarrow{OA}+t\overrightarrow{OB}.
(b) O ponto médio de AB é dado por \displaystyle \overrightarrow{OM}=\tfrac{1}{2}\overrightarrow{OA}+\tfrac{1}{2}\overrightarrow{OB}.
(c) A equação \displaystyle \overrightarrow{OP}=(1-t)\overrightarrow{OA}+t\overrightarrow{OB}, com t\in\mathbb{R}, é a equação vetorial paramétrica da reta que passa por A e B.

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