Determine as equações paramétricas da reta
que passa pelo ponto
e é paralela ao vetor
, onde:
.
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados:
- Ponto inicial
. - Vetor diretor
.
O que o problema pede:
- Determinar as equações paramétricas da reta
que passa por e é paralela a .
Passo 2
Conceito que vamos usar (explicado de forma direta): uma reta no plano pode ser descrita por uma equação vetorial do tipo
onde:
-
é o vetor posição de um ponto genérico da reta quando o parâmetro é ; -
é o vetor posição do ponto conhecido por onde a reta passa; -
é um vetor paralelo à reta (vetor diretor); -
é o parâmetro que “varre” todos os pontos da reta.
Explicando em miúdos: a cada valor de
soma-se ao ponto inicial
uma cópia escalada do vetor
. Quando
volta-se ao ponto
; quando
obtém-se o ponto
, etc. Isso gera todos os pontos da reta que passa por
na direção de
.
Passo 3
Escrevendo os vetores em coordenadas (peguei estes valores do enunciado):
Substituindo na fórmula vetorial:
Passo 4
Agora escrevemos as equações paramétricas extraindo as componentes da equação vetorial: para cada
,
Aqui
e
são as coordenadas de um ponto qualquer da reta quando o parâmetro vale
. Essas são as equações paramétricas pedidas.
Passo 5
Verificações rápidas (para ganhar confiança na resposta):
- Para
obtemos , que é o ponto — perfeito. - Para
obtemos , que é . - A diferença entre os pontos para
e é sempre , logo a direção da reta é realmente .