Determine as equações paramétricas da reta r que passa pelo ponto P_{0} e é paralela ao vetor \vec{v}, onde:
P_{0}=(1,-1), \vec{v}=(3,1).

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados:
  • Ponto inicial \,P_{0}=(1,-1).
  • Vetor diretor \,\vec{v}=(3,1).
O que o problema pede:
  • Determinar as equações paramétricas da reta r que passa por \,P_{0} e é paralela a \,\vec{v}.

Passo 2

Conceito que vamos usar (explicado de forma direta): uma reta no plano pode ser descrita por uma equação vetorial do tipo
\vec{r}(t)=\vec{P_{0}}+t\,\vec{v},
onde:
  • \vec{r}(t) é o vetor posição de um ponto genérico da reta quando o parâmetro é \,t;
  • \vec{P_{0}} é o vetor posição do ponto conhecido por onde a reta passa;
  • \vec{v} é um vetor paralelo à reta (vetor diretor);
  • \,t\in\mathbb{R} é o parâmetro que “varre” todos os pontos da reta.
Explicando em miúdos: a cada valor de \,t soma-se ao ponto inicial \vec{P_0} uma cópia escalada do vetor \vec{v}. Quando \,t=0 volta-se ao ponto \vec{P_0}; quando \,t=1 obtém-se o ponto \vec{P_0}+\vec{v}, etc. Isso gera todos os pontos da reta que passa por \vec{P_0} na direção de \vec{v}.

Passo 3

Escrevendo os vetores em coordenadas (peguei estes valores do enunciado):
\vec{P_{0}}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]-1\end{pmatrix},\qquad \vec{v}=\begin{pmatrix}3\\[4pt]1\end{pmatrix}.
Substituindo na fórmula vetorial:
\vec{r}(t)=\begin{pmatrix}1\\[4pt]-1\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}3\\[4pt]1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1+3t\\[4pt]-1+t\end{pmatrix}.]

Passo 4

Agora escrevemos as equações paramétricas extraindo as componentes da equação vetorial: para cada t\in\mathbb{R},
x=1+3t, \qquad y=-1+t.
Aqui \,x e \,y são as coordenadas de um ponto qualquer da reta quando o parâmetro vale \,t. Essas são as equações paramétricas pedidas.

Passo 5

Verificações rápidas (para ganhar confiança na resposta):
  • Para \,t=0 obtemos (x,y)=(1,-1), que é o ponto \,P_{0} — perfeito.
  • Para \,t=1 obtemos (x,y)=(4,0), que é \,P_{0}+\vec{v}.
  • A diferença entre os pontos para \,t e \,t+1 é sempre (3,1), logo a direção da reta é realmente \vec{v}.

Resposta

x=1+3t
y=-1+t
\,t\in\mathbb{R}

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