Determine a equação do cilíndro que é tangente a esfera
S=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} ; x^{2}+y^{2}+z^{2}-2 x+4 y+2 z-3=0\right\}
e cujo eixo central é paralelo a reta
r=\{(2 t-3,-t+7,-2 t+5) ; t \in \mathbb{R}\}

Passo 1

O enunciado pede a equação de um cilindro cujas geratrizes (eixo central) são paralelas à reta
r:\;(2t-3,\,-t+7,\,-2t+5)
e que seja tangente à esfera
S:\;x^{2}+y^{2}+z^{2}-2x+4y+2z-3=0.
O conteúdo que vamos usar é a ideia de que um ponto (x,y,z) pertence ao cilindro se, e somente se, a reta paralela a r que passa por (x,y,z) for tangente à esfera. Tangência equivale a ter discriminante zero ao substituir a parametrização da reta na equação da esfera.

Passo 2

Encontrar centro e raio da esfera. Reescrevendo
x^{2}-2x+y^{2}+4y+z^{2}+2z-3=0
completamos quadrados:
(x-1)^{2}-1+(y+2)^{2}-4+(z+1)^{2}-1-3=0 \;\Longrightarrow\;(x-1)^{2}+(y+2)^{2}+(z+1)^{2}=9.
Logo o centro é
C=(1,-2,-1),
e o raio é R=3.

Passo 3

O vetor diretor de r é
v=(2,\,-1,\,-2),
com norma ao quadrado
\|v\|^{2}=2^{2}+(-1)^{2}+(-2)^{2}=9.

Passo 4

Seja X=(x,y,z) um ponto genérico. A reta paralela a v que passa por X é
\ell:\;X+t\,v,\quad t\in\mathbb{R}.
Substituímos na equação da esfera, isto é, exigimos
\bigl\|\bigl(X-C\bigr)+t\,v\bigr\|^{2}=R^{2}.
Isso gera um polinômio em t, e a condição de tangência é que o discriminante seja zero.

Passo 5

Escrevendo
(X-C)\cdot v=b, \quad \|X-C\|^{2}-R^{2}=c, \quad \|v\|^{2}=a,
o discriminante é
\Delta=4\bigl[b^{2}-a\,c\bigr]=0 \;\Longleftrightarrow\; b^{2}-a\,c=0.
Aqui
X-C=(x-1,\,y+2,\,z+1),
b=(X-C)\cdot v =2(x-1)-1\,(y+2)-2(z+1) =2x-y-2z-6,
a=9, \quad c=(x-1)^{2}+(y+2)^{2}+(z+1)^{2}-9.
A condição b^{2}-a\,c=0 dá a equação implícita do cilindro:
\bigl(2x-y-2z-6\bigr)^{2} -9\Bigl[(x-1)^{2}+(y+2)^{2}+(z+1)^{2}-9\Bigr]=0.

Passo 6

Podemos deixar o cilindro na forma mais compacta de “discriminante zero” ou expandir. Expandindo e agrupando termos, obtemos
5x^{2}+8y^{2}+5z^{2} +4xy+8xz-4yz +6x+24y-6z-63=0.

Resposta

A equação do cilindro é, por exemplo,
\bigl(2x-y-2z-6\bigr)^{2} -9\Bigl[(x-1)^{2}+(y+2)^{2}+(z+1)^{2}-9\Bigr]=0,
que equivale também a
5x^{2}+8y^{2}+5z^{2} +4xy+8xz-4yz +6x+24y-6z-63=0.

Exercícios relacionados