Determine a equação do cilíndro que é tangente a esfera
S=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} ; x^{2}+y^{2}+z^{2}-2 x+4 y+2 z-3=0\right\}
e cujo eixo central é paralelo a reta
r=\{(2 t-3,-t+7,-2 t+5) ; t \in \mathbb{R}\}
Passo 1
O enunciado pede a equação de um cilindro cujas geratrizes (eixo central) são paralelas à reta
r:\;(2t-3,\,-t+7,\,-2t+5)
e que seja tangente à esfera
S:\;x^{2}+y^{2}+z^{2}-2x+4y+2z-3=0.
O conteúdo que vamos usar é a ideia de que um ponto (x,y,z) pertence ao cilindro se, e somente se, a reta paralela a r que passa por (x,y,z) for tangente à esfera. Tangência equivale a ter discriminante zero ao substituir a parametrização da reta na equação da esfera.