Escolha uma das duas questões:
Determine uma transformação afim A: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} que rotaciona o espaço, de \frac{\pi}{3} radianos, em torno de uma reta r=\{(2,3,0)+t(1,1,1) ; t \in \mathbb{R}\}.

Passo 1

O enunciado pede uma transformação afim A:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 que gira o espaço de ângulo \frac{\pi}{3} em torno da reta
r = \{(2,3,0) + t(1,1,1)\mid t\in\mathbb{R}\}.
Conteúdo principal: rotação em \mathbb{R}^3 em torno de eixo arbitrário e composição com translação para obter a forma afim.

Passo 2

Para construir A, primeiro deslocamos o eixo r para passar pela origem. Seja
P_0 = (2,3,0),
definimos o ponto traduzido
y = x - P_0.
Em seguida aplicamos uma rotação central R de ângulo \theta=\frac{\pi}{3} em torno do eixo que passa pela origem com direção (1,1,1). Por fim, traduzimos de volta:
A(x) = R\bigl(x-P_0\bigr) + P_0.

Passo 3

Para obter R, usamos a fórmula de Rodrigues. Seja
u = \frac{1}{\sqrt{3}}(1,1,1), \quad c = \cos\theta = \tfrac12, \quad s = \sin\theta = \tfrac{\sqrt{3}}{2}.
Então
R = c\,I + (1-c)\,u\,u^T \;+\; s\,[u]_\times,
onde [u]_\times é a matriz de produto vetorial:
[u]_\times = \frac1{\sqrt{3}} \begin{pmatrix} 0 & -1 & 1\\\\ 1 & 0 & -1\\\\ -1 & 1 & 0 \end{pmatrix}.

Passo 4

Calculando R explicitamente:
(1-c)\,u\,u^T = \tfrac12\cdot\tfrac13 \begin{pmatrix}1&1&1\\\ 1&1&1\\\ 1&1&1\end{pmatrix} =\tfrac16 \begin{pmatrix}1&1&1\\\ 1&1&1\\\ 1&1&1\end{pmatrix},
s\,[u]_\times =\tfrac{\sqrt{3}}2\cdot\tfrac1{\sqrt{3}} \begin{pmatrix}0&-1&1\\\ 1&0&-1\\\ -1&1&0\end{pmatrix} =\tfrac12 \begin{pmatrix}0&-1&1\\\ 1&0&-1\\\ -1&1&0\end{pmatrix}.
Somando com c\,I=\tfrac12I, obtém-se
R = \begin{pmatrix} \tfrac23 & -\tfrac13 & \tfrac23\\\ \tfrac23 & \tfrac23 & -\tfrac13\\\\ -\tfrac13& \tfrac23 & \tfrac23 \end{pmatrix}.

Passo 5

Para completar a forma afim A(x)=R\,x + b, calculamos
b = P_0 - R\,P_0,
com P_0=(2,3,0):
R\,P_0 =\begin{pmatrix}\tfrac23&-\tfrac13&\tfrac23\\[6pt]\tfrac23&\tfrac23&-\tfrac13\\[6pt]-\tfrac13&\tfrac23&\tfrac23\end{pmatrix} \begin{pmatrix}2\\\ 3\\\ 0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\tfrac13\\tfrac{10}3\\tfrac43\end{pmatrix},
b = \begin{pmatrix}2\\\ 3\\\ 0\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}\tfrac13\\tfrac{10}3\\tfrac43\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\tfrac{5}3\\\\ -\tfrac13\\\\ -\tfrac43\end{pmatrix}.]

Resposta

A transformação afim que realiza a rotação requerida é
A(x) = R\,x + b,
onde
R = \begin{pmatrix} \tfrac23 & -\tfrac13 & \tfrac23\\\ \tfrac23 & \tfrac23 & -\tfrac13\\\\ -\tfrac13& \tfrac23 & \tfrac23 \end{pmatrix}, \quad b = \begin{pmatrix}\tfrac{5}3\\\\ -\tfrac13\\\\ -\tfrac43\end{pmatrix}.

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