Escolha uma das duas questões:
Determine uma transformação afim A: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} que rotaciona o espaço, de \frac{\pi}{3} radianos, em torno de uma reta r=\{(2,3,0)+t(1,1,1) ; t \in \mathbb{R}\}.
Passo 1
O enunciado pede uma transformação afim A:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 que gira o espaço de ângulo \frac{\pi}{3} em torno da reta
r = \{(2,3,0) + t(1,1,1)\mid t\in\mathbb{R}\}.
Conteúdo principal: rotação em \mathbb{R}^3 em torno de eixo arbitrário e composição com translação para obter a forma afim.
Passo 2
Para construir A, primeiro deslocamos o eixo r para passar pela origem. Seja
P_0 = (2,3,0),
definimos o ponto traduzido
y = x - P_0.
Em seguida aplicamos uma rotação central R de ângulo \theta=\frac{\pi}{3} em torno do eixo que passa pela origem com direção (1,1,1). Por fim, traduzimos de volta:
A(x) = R\bigl(x-P_0\bigr) + P_0.
Passo 3
Para obter R, usamos a fórmula de Rodrigues. Seja
u = \frac{1}{\sqrt{3}}(1,1,1), \quad c = \cos\theta = \tfrac12, \quad s = \sin\theta = \tfrac{\sqrt{3}}{2}.