Determine uma equação para a(s) quádrica(s) cêntricas que contém as curvas
\begin{aligned} C_{1} & =\left\{(x, y, 1) \in \mathbb{E}^{3} ; x^{2}=2 y+\frac{1}{2}\right\} \\\ C_{2} & =\left\{(x, y, 2) \in \mathbb{E}^{3} ; x^{2}=2 y+2\right\} \end{aligned}

Passo 1

Resumo do enunciado. Temos duas curvas em planos paralelos de \mathbb{E}^3: \;C_1 é o conjunto de pontos (x,y,1) que satisfazem
x^2 \;=\;2y+\tfrac12,
e \;C_2 é o conjunto de pontos (x,y,2) que satisfazem
x^2 \;=\;2y+2.
O problema pede para encontrar todas as quádricas cêntricas (isto é, quádricas que admitem um ponto-centro de simetria e, em coordenadas adequadas, não têm termos lineares) que contenham simultaneamente C_1 e C_2.

Passo 2

Forma geral de uma quádricas cêntrica em coordenadas (x,y,z). Em coordenadas cuja origem seja o ponto-centro, a equação geral de uma quádricas cêntrica é
a\,x^2 \;+\;b\,y^2\;+\;c\,z^2\;+\;d\,xy\;+\;e\,xz\;+\;f\,yz\;+\;g \;=\;0,
sem termos lineares em x,y,z. Não há perda de generalidade ao assumir esse formato, pois qualquer quádricas cêntrica pode ser deslocada para que o centro fique na origem.

Passo 3

Condição “contém C_1”. Para todo ponto de C_1 temos z=1 e
y=\frac{x^2-\tfrac12}{2}.
Substituindo na equação geral, cada (x,y,1)\in C_1 deve anular
a\,x^2 + b\Bigl(\tfrac{x^2-\tfrac12}{2}\Bigr)^{\!2} + c\cdot1^2 + d\,x\cdot\frac{x^2-\tfrac12}{2} + e\,x\cdot1 + f\,\frac{x^2-\tfrac12}{2}\cdot1 + g \;=\;0
para todo x. Isso gera um polinômio em x de grau até 4 cujo todos os coeficientes devem ser zero.

Passo 4

Condição “contém C_2”. Analogamente, para todo ponto de C_2 temos z=2 e
y=\frac{x^2-2}{2},
o que leva a outro polinômio em x (grau até 4) que também deve ser identicamente zero.

Passo 5

Análise das equações resultantes.
  1. O coeficiente de x^4 em cada polinômio provém de b\,y^2 (pois y^2\sim x^4) e só pode anular-se se b=0.
  2. O coeficiente de x^3 provém de d\,x\,y e só some se d=0.
  3. Os coeficientes de x^2,x e termo constante geram um sistema linear homogêneo nas incógnitas restantes a,c,e,f,g.
Ao resolver esse sistema simultâneo obtém-se a única solução trivial
a=c=e=f=g=0,
isto é, a única “quádricas” que satisfaz seria a equação 0=0, que não é uma superfície propriamente dita.

Passo 6

Conclusão. Não existe nenhuma quádricas cêntrica não degenerada cuja equação de segundo grau genuína contenha simultaneamente as duas curvas parabólicas dadas em planos z=1 e z=2.

Resposta

Não existe quádricas cêntrica não degenerada que contenha ao mesmo tempo C_1 e C_2.

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