Determine uma equação para a(s) quádrica(s) cêntricas que contém as curvas
Passo 1
Resumo do enunciado. Temos duas curvas em planos paralelos de
:
é o conjunto de pontos
que satisfazem
e
é o conjunto de pontos
que satisfazem
O problema pede para encontrar todas as quádricas cêntricas (isto é, quádricas que admitem um ponto-centro de simetria e, em coordenadas adequadas, não têm termos lineares) que contenham simultaneamente
e
.
Passo 2
Forma geral de uma quádricas cêntrica em coordenadas
. Em coordenadas cuja origem seja o ponto-centro, a equação geral de uma quádricas cêntrica é
sem termos lineares em
. Não há perda de generalidade ao assumir esse formato, pois qualquer quádricas cêntrica pode ser deslocada para que o centro fique na origem.
Passo 3
Condição “contém
”. Para todo ponto de
temos
e
Substituindo na equação geral, cada
deve anular
para todo
. Isso gera um polinômio em
de grau até 4 cujo todos os coeficientes devem ser zero.
Passo 4
Condição “contém
”. Analogamente, para todo ponto de
temos
e
o que leva a outro polinômio em
(grau até 4) que também deve ser identicamente zero.
Passo 5
Análise das equações resultantes.
- O coeficiente de
em cada polinômio provém de (pois ) e só pode anular-se se . - O coeficiente de
provém de e só some se . - Os coeficientes de
e termo constante geram um sistema linear homogêneo nas incógnitas restantes .
Ao resolver esse sistema simultâneo obtém-se a única solução trivial
isto é, a única “quádricas” que satisfaz seria a equação
, que não é uma superfície propriamente dita.
Passo 6
Conclusão. Não existe nenhuma quádricas cêntrica não degenerada cuja equação de segundo grau genuína contenha simultaneamente as duas curvas parabólicas dadas em planos
e
.
Resposta
Não existe quádricas cêntrica não degenerada que contenha ao mesmo tempo
e
.