Faça um esboço detalhado da cônica
Não se esqueça de determinar seu(s) foco(s), vértice(s), assíntotas e interseções com os eixos!
Passo 1
O enunciado dá a cônica
Precisamos
- classificar a curva,
- encontrar centro, assíntotas e interseções com os eixos,
- reduzir à forma canônica por rotação de eixos,
- extrair vértices e focos,
- esboçar no plano.
Passo 2
Classificação e centro
A forma geral é
A forma geral é
com
,
,
,
. O discriminante é
logo trata-se de uma hipérbole. Não há termos em
ou em
isolados, então o centro é em
.
Assíntotas
Para sobra a equação homogênea
Para
São as duas retas assíntotas.
Passo 3
Rotação de eixos para eliminar o termo
Logo
Temos
,
,
.
Fazendo
Fazendo
e substituindo em
e expande, obtém-se
Passo 4
Forma canônica
Daí
,
, e o parâmetro focal
Passo 5
Vértices e focos na base
- Vértices:
. - Focos:
.
Voltando a
:
Para um ponto temos
Para um ponto
Então
- Vértices em
- Focos em
Passo 6
Interseções com os eixos
-
em dá , impossível. -
em dá , sem solução real.
Logo nenhuma interseção com eixos.
Resposta
Centro:
Assíntotas: e
Vértices: e
Focos: e
Interseções com eixos: nenhuma.
Esboço: duas ramas de hipérbole centradas em , abrindo ao longo da direção de inclinação
, aproximando-se das retas
e
.
Assíntotas:
Vértices:
Focos:
Interseções com eixos: nenhuma.
Esboço: duas ramas de hipérbole centradas em