Faça um esboço detalhado da cônica
C=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} ; 4 x y-3 y^{2}=36\right\}
Não se esqueça de determinar seu(s) foco(s), vértice(s), assíntotas e interseções com os eixos!

Passo 1

O enunciado dá a cônica
4xy - 3y^2 = 36
Precisamos
  1. classificar a curva,
  2. encontrar centro, assíntotas e interseções com os eixos,
  3. reduzir à forma canônica por rotação de eixos,
  4. extrair vértices e focos,
  5. esboçar no plano.

Passo 2

Classificação e centro
A forma geral é
Ax^2 + B\,xy + C y^2 + F = 0
com A=0, B=4, C=-3, F=-36. O discriminante é
\Delta = B^2 - 4AC = 4^2 - 4\cdot 0\cdot(-3) = 16 > 0,
logo trata-se de uma hipérbole. Não há termos em x ou em y isolados, então o centro é em (0,0).
Assíntotas
Para 36=0 sobra a equação homogênea
4xy - 3y^2 = 0 \;\Longrightarrow\; y\,(4x - 3y)=0 \;\Longrightarrow\; y=0 \quad\text{ou}\quad y=\tfrac{4}{3}x.
São as duas retas assíntotas.

Passo 3

Rotação de eixos para eliminar o termo xy\) Queremos um ângulo \(\varphi\) tal que \[\tan(2\varphi)=\frac{B}{A - C}=\frac{4}{0-(-3)}=\frac{4}{3}.
Logo
2\varphi=\arctan\!\bigl(\tfrac{4}{3}\bigr), \quad \varphi\approx 26{,}565^\circ.
Temos \tan\varphi=\tfrac12, \cos\varphi=\tfrac{2}{\sqrt5}, \sin\varphi=\tfrac{1}{\sqrt5}.
Fazendo
\begin{cases} x = X\cos\varphi - Y\sin\varphi,\\\ y = X\sin\varphi + Y\cos\varphi, \end{cases}
e substituindo em 4xy - 3y^2=36\], multiplica-se por \(5 e expande, obtém-se
5X^2 - 20Y^2 = 180 \;\Longrightarrow\; \frac{X^2}{36} - \frac{Y^2}{9} = 1.

Passo 4

Forma canônica
\frac{X^2}{6^2} - \frac{Y^2}{3^2} = 1.
Daí a=6, b=3, e o parâmetro focal
c^2 = a^2 + b^2 = 36 + 9 = 45, \quad c = 3\sqrt5.

Passo 5

Vértices e focos na base (X,Y)
  • Vértices: (\pm a,0) = (\pm 6,0).
  • Focos: (\pm c,0) = (\pm 3\sqrt5,0).
Voltando a (x,y):
Para um ponto (X,0) temos
x = X\cos\varphi = X\frac{2}{\sqrt5}, \quad y = X\sin\varphi = X\frac{1}{\sqrt5}.
Então
  • Vértices em \bigl(\pm 6\cdot\tfrac{2}{\sqrt5},\,\pm 6\cdot\tfrac{1}{\sqrt5}\bigr) =(\pm\tfrac{12}{\sqrt5},\,\pm\tfrac{6}{\sqrt5}).
  • Focos em \bigl(\pm 3\sqrt5\cdot\tfrac{2}{\sqrt5},\,\pm 3\sqrt5\cdot\tfrac{1}{\sqrt5}\bigr) =(\pm 6,\,\pm 3).

Passo 6

Interseções com os eixos
  • y=0 em 4x\cdot0-3\cdot0=36 0=36, impossível.
  • x=0 em -3y^2=36 y^2=-12, sem solução real.
    Logo nenhuma interseção com eixos.

Resposta

Centro: (0,0)
Assíntotas: y=0 e y=\tfrac{4}{3}x
Vértices: \bigl(\tfrac{12}{\sqrt5},\,\tfrac{6}{\sqrt5}\bigr) e \bigl(-\tfrac{12}{\sqrt5},\,-\tfrac{6}{\sqrt5}\bigr)
Focos: (6,3) e (-6,-3)
Interseções com eixos: nenhuma.
Esboço: duas ramas de hipérbole centradas em (0,0), abrindo ao longo da direção de inclinação 1/2, aproximando-se das retas y=0 e y=\tfrac{4}{3}x.

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