Escreva a equação da reta tangente ao círculo
no ponto do segundo quadrante deste círculo, tal que
.
Passo 1
O enunciado nos dá a equação do círculo
e pede: encontrar a equação da reta tangente a esse círculo no ponto que está no segundo quadrante e cuja coordenada abscissa é
.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A equação do círculo é
. - O ponto de tangência tem
. - O ponto está no segundo quadrante, ou seja, para esse ponto
e . - O que se pede: a equação da reta tangente ao círculo nesse ponto.
Passo 2
Vamos primeiro reescrever a equação do círculo completando quadrados para identificar centro e raio — isso facilita muito encontrar a reta tangente.
Tomamos os termos em
e em
:
Completar o quadrado: adicionar e subtrair os termos que transformam cada parte em um quadrado perfeito.
Substituindo na equação original:
Somando os constantes:
logo
Isolando o lado com os quadrados:
Dessa forma identificamos:
- Centro do círculo
. - Raio
.
Breve explicação didática: completar o quadrado transforma
em
. O centro do círculo vem dos termos
, aqui
,
.
Passo 3
Agora determinamos o(s) ponto(s) do círculo com
. Substituímos
na equação já na forma completada:
Calculando:
Assim
Temos dois pontos na vertical
:
e
.
Como o enunciado diz que o ponto está no segundo quadrante (onde
e
), escolhemos
.
Observação didática: sempre verificar o quadrante quando há duas soluções simétricas em
.
Passo 4
Para achar a reta tangente em
, usamos a propriedade geométrica importante: o raio que liga o centro
ao ponto de tangência
é perpendicular à reta tangente nesse ponto.
Vamos calcular a inclinação (coeficiente angular) do segmento
. Dados
e
,
Aqui
é a inclinação do raio (reta que une o centro ao ponto). Interpretação: para cada
unidades que
aumenta ao ir de
para
,
aumenta
unidades.
Passo 5
A reta tangente é perpendicular ao raio, portanto sua inclinação
é o negativo do inverso de
. Regra: se duas retas são perpendiculares, os coeficientes angulares
e
satisfazem
.
Assim
Breve lembrete didático: o “inverso” troca numerador e denominador; o “negativo” inverte o sinal. Por exemplo, o perpendicular de
é
.
Passo 6
Agora escrevemos a equação da reta com coeficiente angular
que passa por
. Usamos a forma ponto-inclinação:
onde
é o ponto conhecido. Substituindo:
Podemos transformar para a forma geral multiplicando ambos os lados por
:
Expandindo:
Organizando em forma padrão
:
Aqui
é a mesma reta que
, apenas escrita de modo diferente. Verificação rápida: substituindo
,
satisfaz a equação (confirma que a reta passa por
).