Escreva a equação da reta tangente ao círculo x^{2}+y^{2}+14 x+18 y-39=0 no ponto do segundo quadrante deste círculo, tal que x=-2.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação do círculo
x^{2}+y^{2}+14x+18y-39=0
e pede: encontrar a equação da reta tangente a esse círculo no ponto que está no segundo quadrante e cuja coordenada abscissa é x=-2.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A equação do círculo é \;x^{2}+y^{2}+14x+18y-39=0\;.
  • O ponto de tangência tem x=-2.
  • O ponto está no segundo quadrante, ou seja, para esse ponto x<0 e y>0.
  • O que se pede: a equação da reta tangente ao círculo nesse ponto.

Passo 2

Vamos primeiro reescrever a equação do círculo completando quadrados para identificar centro e raio — isso facilita muito encontrar a reta tangente.
Tomamos os termos em x e em y:
x^{2}+14x \quad\text{e}\quad y^{2}+18y.
Completar o quadrado: adicionar e subtrair os termos que transformam cada parte em um quadrado perfeito.
x^{2}+14x = (x+7)^{2}-7^{2}=(x+7)^{2}-49,
y^{2}+18y = (y+9)^{2}-9^{2}=(y+9)^{2}-81.
Substituindo na equação original:
(x+7)^{2}-49 + (y+9)^{2}-81 -39 = 0.
Somando os constantes:
-49 -81 -39 = -169,
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(x+7)^{2}+(y+9)^{2}-169=0.
Isolando o lado com os quadrados:
(x+7)^{2}+(y+9)^{2}=169.
Dessa forma identificamos:
  • Centro do círculo C = (-7,-9).
  • Raio r = \sqrt{169}=13.
Breve explicação didática: completar o quadrado transforma x^{2}+bx em (x+b/2)^{2} - (b/2)^{2}. O centro do círculo vem dos termos (x-h)^{2}+(y-k)^{2}=r^{2}, aqui h=-7, k=-9.

Passo 3

Agora determinamos o(s) ponto(s) do círculo com x=-2. Substituímos -2 na equação já na forma completada:
(-2+7)^{2}+(y+9)^{2}=169.
Calculando:
5^{2}+(y+9)^{2}=169 \quad\Rightarrow\quad 25+(y+9)^{2}=169,
(y+9)^{2}=144.
Assim
y+9 = \pm 12 \quad\Rightarrow\quad y = 3 \quad\text{ou}\quad y=-21.
Temos dois pontos na vertical x=-2: P_{1}=(-2,3) e P_{2}=(-2,-21).
Como o enunciado diz que o ponto está no segundo quadrante (onde x<0 e y>0), escolhemos P = (-2,3).
Observação didática: sempre verificar o quadrante quando há duas soluções simétricas em y.

Passo 4

Para achar a reta tangente em P, usamos a propriedade geométrica importante: o raio que liga o centro C ao ponto de tangência P é perpendicular à reta tangente nesse ponto.
Vamos calcular a inclinação (coeficiente angular) do segmento CP. Dados C(-7,-9) e P(-2,3),
m_{r}=\frac{y_{P}-y_{C}}{x_{P}-x_{C}}=\frac{3-(-9)}{-2-(-7)}=\frac{12}{5}.
Aqui m_{r} é a inclinação do raio (reta que une o centro ao ponto). Interpretação: para cada 5 unidades que x aumenta ao ir de C para P, y aumenta 12 unidades.

Passo 5

A reta tangente é perpendicular ao raio, portanto sua inclinação m_{t} é o negativo do inverso de m_{r}. Regra: se duas retas são perpendiculares, os coeficientes angulares m_{1} e m_{2} satisfazem m_{1}\,m_{2}=-1.
Assim
m_{t} = -\frac{1}{m_{r}} = -\frac{1}{\tfrac{12}{5}} = -\frac{5}{12}.
Breve lembrete didático: o “inverso” troca numerador e denominador; o “negativo” inverte o sinal. Por exemplo, o perpendicular de 2 é -\tfrac{1}{2}.

Passo 6

Agora escrevemos a equação da reta com coeficiente angular m_{t}=-\tfrac{5}{12} que passa por P(-2,3). Usamos a forma ponto-inclinação:
y-y_{0}=m\,(x-x_{0}),
onde (x_{0},y_{0}) é o ponto conhecido. Substituindo:
y-3 = -\frac{5}{12}(x+2).
Podemos transformar para a forma geral multiplicando ambos os lados por 12:
12(y-3) = -5(x+2).
Expandindo:
12y-36 = -5x-10.
Organizando em forma padrão Ax+By+C=0:
5x+12y-26=0.
Aqui 5x+12y-26=0 é a mesma reta que y-3 = -\tfrac{5}{12}(x+2), apenas escrita de modo diferente. Verificação rápida: substituindo x=-2, y=3 satisfaz a equação (confirma que a reta passa por P).

Resposta

y-3 = -\frac{5}{12}(x+2)
5x+12y-26=0

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