Estude a convergência condicional, convergência absoluta ou divergência das séries
(0.5) sumk=1^infty 3^k+1pi^k

Passo 1

O enunciado pede para analisarmos se a série
0,5sumk=1^infty3^k+1pi^k
converge absolutamente, condicionalmente ou diverge. Esse é um problema de testes de convergência para séries numéricas, e aqui a estrutura sugere usar a interpretação como série geométrica ou o teste da razão.

Passo 2

Primeiro vamos escrever o termo geral de forma mais clara. Para k>=1,
ak = 0,5;3^k+1pi^k = 12;3;3^kpi^k = 32l(3pir)^k
Logo a série fica
sumk=1^inftyak = sumk=1^infty32l(3pir)^k =32sumk=1^inftyl(3pir)^k

Passo 3

Isso é exatamente uma série geométrica de razão
r=3pi. Como piapprox3,14, temos
l|rr|=tfrac3pi<1. Portanto a série geométrica converge.
E como todos os termos são positivos, a convergência é absoluta.

Passo 4

Para reforçar, em qualquer série sum r^k com |r|<1 a soma é finita. Logo aqui não há apenas convergência, mas convergência absoluta, e não há caso de convergência condicional ou divergência.

Resposta

A série converge absolutamente.

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