Determine se a equação corresponde a uma clipse, hipérbole ou parábola. Em segu faça um esboço.
y^2-9 x^2=36

Passo 1

O enunciado dá a equação
y^2-9x^2=36
e pede para identificar se é elipse, hipérbole ou parábola, e em seguida esboçar o gráfico.
Conteúdo: classificação de cônicas a partir da forma geral de segunda ordem e esboço de hipérbole.

Passo 2

Reconhecemos a forma geral de cônica
Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0
Aqui temos A=-9, B=0, C=1. Como A e C têm sinais opostos ( -9 e 1), a cônica é uma hipérbole.

Passo 3

Para colocar em forma canônica, dividimos ambos os lados por 36:
y^236-9x^236=1
que simplifica para
y^236-x^24=1

Passo 4

Dessa forma canônica identificamos os elementos principais:
– Centro em (0,0).
– Termo positivo em y^2 indica hipérbole com eixo transverso vertical.
– Vértices em (0,pm 6).
– Assíntotas obtidas fazendo o lado direito igual a zero:
y^236-x^24=0 ;Longrightarrow; y=pm3x

Passo 5

Esboço:
– Trace os eixos e .
– Desenhe as retas e como assíntotas.
– Marque os vértices e .
– Desenhe duas curvas que passam por esses vértices e se aproximam das assíntotas conforme .

Resposta

A equação representa uma hipérbole de centro em (0,0) com eixo transverso vertical, vértices em (0,pm6) e assíntotas y=pm3x. O esboço acima mostra suas duas ramificações.

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