determine se a equação dada é separável, linear, nenhuma, ou ambas.
\left(t^{2}+1\right) \frac{d y}{d t}=y t-y

Passo 1

O enunciado dá a equação
\left(t^{2}+1\right)\frac{dy}{dt}=yt-y.
A pergunta é: determinar se essa equação é separável, linear, nenhuma das duas, ou ambas.
Informações relevantes que recebemos:
  • A incógnita é a função y(t).
  • A equação envolve \dfrac{dy}{dt}, termo em y e funções apenas de t.
  • O denominador potencial t^{2}+1 é sempre positivo (não se anula para t\in\mathbb{R}), então podemos dividir por ele sem problema.

Passo 2

Primeiro vamos escrever a equação de forma mais clara, desenvolvendo o lado direito:
yt-y = y(t-1).
Dividindo ambos os lados por t^{2}+1 (permitido porque t^{2}+1>0 para todo t), obtemos a forma explicita
\frac{dy}{dt}=\frac{y(t-1)}{t^{2}+1}.
Esta forma é útil para testar separabilidade e linearidade.

Passo 3

Definição de separável: uma equação é separável se pode ser escrita como
\frac{dy}{dt}=f(t)\,g(y),
ou seja, o lado direito é um produto de uma função que depende só de t por uma função que depende só de y.
Na nossa equação o lado direito é
\frac{y(t-1)}{t^{2}+1}= \underbrace{\frac{t-1}{t^{2}+1}}_{f(t)}\underbrace{y}_{g(y)}.
Portanto ela tem a forma f(t)g(y) com g(y)=y e f(t)=(t-1)/(t^{2}+1). Conclusão: a equação é separável.
Para ilustrar como resolver por separação (a título de didática), escrevemos
\frac{1}{y}\,dy=\frac{t-1}{t^{2}+1}\,dt.
Integramos ambos os lados: à esquerda \int \dfrac{1}{y}\,dy=\ln|y|. À direita separamos em duas integrais
\int\frac{t}{t^{2}+1}\,dt-\int\frac{1}{t^{2}+1}\,dt.
A primeira integral dá \tfrac{1}{2}\ln(t^{2}+1) (substituição u=t^{2}+1), a segunda dá \arctan(t). Assim
\ln|y|=\frac{1}{2}\ln(t^{2}+1)-\arctan(t)+C.
Exponenciando, a solução geral pela separação é
y(t)=C\,(t^{2}+1)^{1/2}\,e^{-\arctan(t)},
onde C é constante arbitrária (inclui C=0 que corresponde à solução trivial y\equiv0).

Passo 4

Definição de linear (ordem 1): uma equação é linear de primeira ordem se pode ser posta na forma
\frac{dy}{dt}+P(t)\,y=Q(t),
onde P e Q dependem só de t.
A partir de \dfrac{dy}{dt}=\dfrac{y(t-1)}{t^{2}+1} reescrevemos:
\frac{dy}{dt}-\frac{t-1}{t^{2}+1}\,y=0.
Isto é da forma \dfrac{dy}{dt}+P(t)y=Q(t) com
P(t)=-\frac{t-1}{t^{2}+1},\qquad Q(t)=0,
ou seja, é uma equação linear homogênea de primeira ordem. Conclusão: a equação também é linear.
Para confirmar que ambos os métodos coincidem, poderíamos aplicar o fator integrante para a forma linear; o fator integrante é
\mu(t)=\exp\!\left(\int P(t)\,dt\right) =\exp\!\left(-\int\frac{t-1}{t^{2}+1}\,dt\right) =(t^{2}+1)^{-1/2}e^{\arctan(t)}.
Da equação \dfrac{d}{dt}\big(\mu(t)y\big)=0 segue \mu(t)y=C, o que dá exatamente
y(t)=C\,(t^{2}+1)^{1/2}e^{-\arctan(t)},
igual à solução obtida por separação. Isso confirma na prática que a equação admite ambos os tratamentos.

Passo 5

Resumo final do raciocínio:
  • A equação pode ser escrita como \dfrac{dy}{dt}=f(t)\,g(y) com f(t)=\dfrac{t-1}{t^{2}+1} e g(y)=y, logo é separável.
  • A mesma equação pode ser escrita na forma linear \dfrac{dy}{dt}+P(t)y=Q(t) com P(t)=-\dfrac{t-1}{t^{2}+1} e Q(t)=0, logo é linear.

Resposta

Ambas (separável e linear).

Exercícios relacionados