determine se a equação dada é separável, linear, nenhuma, ou ambas.
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Passo 1
O enunciado dá a equação
A pergunta é: determinar se essa equação é separável, linear, nenhuma das duas, ou ambas.
Informações relevantes que recebemos:
Informações relevantes que recebemos:
- A incógnita é a função
. - A equação envolve
, termo em e funções apenas de . - O denominador potencial
é sempre positivo (não se anula para ), então podemos dividir por ele sem problema.
Passo 2
Primeiro vamos escrever a equação de forma mais clara, desenvolvendo o lado direito:
Dividindo ambos os lados por
(permitido porque
para todo
), obtemos a forma explicita
Esta forma é útil para testar separabilidade e linearidade.
Passo 3
Definição de separável: uma equação é separável se pode ser escrita como
ou seja, o lado direito é um produto de uma função que depende só de
por uma função que depende só de
.
Na nossa equação o lado direito é
Portanto ela tem a forma
com
e
. Conclusão: a equação é separável.
Para ilustrar como resolver por separação (a título de didática), escrevemos
Integramos ambos os lados: à esquerda
. À direita separamos em duas integrais
A primeira integral dá
(substituição
), a segunda dá
. Assim
Exponenciando, a solução geral pela separação é
onde
é constante arbitrária (inclui
que corresponde à solução trivial
).
Passo 4
Definição de linear (ordem 1): uma equação é linear de primeira ordem se pode ser posta na forma
onde
e
dependem só de
.
A partir de
reescrevemos:
Isto é da forma
com
ou seja, é uma equação linear homogênea de primeira ordem. Conclusão: a equação também é linear.
Para confirmar que ambos os métodos coincidem, poderíamos aplicar o fator integrante para a forma linear; o fator integrante é
Da equação
segue
, o que dá exatamente
igual à solução obtida por separação. Isso confirma na prática que a equação admite ambos os tratamentos.
Passo 5
Resumo final do raciocínio:
- A equação pode ser escrita como
com e , logo é separável. - A mesma equação pode ser escrita na forma linear
com e , logo é linear.
Resposta
Ambas (separável e linear).