obtenha a solução geral para a equação.
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação diferencial
Informações fornecidas:
- A incógnita é a função
. - A equação envolve a derivada
, a função e a função conhecida . - O objetivo é encontrar a expressão geral de
que satisfaça essa igualdade (incluindo a constante de integração).
Passo 2
Coloco a equação em uma forma mais conveniente, isolando a parte não homogênea:
Aqui estou apenas reescrevendo a equação para evidenciar o termo que depende só de
.
Passo 3
Vou usar a ideia de fator integrante. Antes, explico o que é isso com calma e de forma prática.
A técnica do fator integrante serve para transformar a equação da forma
em uma forma que seja a derivada de um produto. No nosso caso, comparando com essa forma, temos
O fator integrante
é definido por
Ele é construído para que, ao multiplicar a equação original por
, o membro esquerdo vire a derivada de
.
Passo 4
Calculo o fator integrante com
:
Multiplico toda a equação por
. A equação
fica
Passo 5
Reconheço que o membro esquerdo é a derivada do produto
. De fato, usando a regra do produto:
Portanto a equação multiplicada pode ser escrita como
pois
.
Passo 6
Integro ambos os lados em relação a
. A integral do lado esquerdo elimina a derivada:
O lado esquerdo integra para
. O lado direito é uma exponencial, cuja integral é
onde
é a constante de integração. Assim obtenho
Passo 7
Isolo
multiplicando ambos os lados por
:
Aqui
é uma constante arbitrária real, então essa fórmula representa a solução geral.
Passo 8
Para reforçar a ideia, apresento uma alternativa (mais direta): decompor em solução homogênea + particular.
-
Solução homogênea da equação associada
.
Separe variáveis:.
Integrando:, com arbitrária. -
Procura-se uma solução particular do tipo
(porque o termo forçante é ).
Calculo:
Logo
.
Somando homogênea e particular:
igual ao resultado anterior.