obtenha a solução geral para a equação.
\frac{d y}{d x}-y-e^{3 x}=0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial
\frac{d y}{d x}-y-e^{3 x}=0.
Informações fornecidas:
  • A incógnita é a função y(x).
  • A equação envolve a derivada \dfrac{dy}{dx}, a função y e a função conhecida e^{3x}.
  • O objetivo é encontrar a expressão geral de y(x) que satisfaça essa igualdade (incluindo a constante de integração).

Passo 2

Coloco a equação em uma forma mais conveniente, isolando a parte não homogênea:
\frac{dy}{dx}-y=e^{3x}.
Aqui estou apenas reescrevendo a equação para evidenciar o termo que depende só de x.

Passo 3

Vou usar a ideia de fator integrante. Antes, explico o que é isso com calma e de forma prática.
A técnica do fator integrante serve para transformar a equação da forma
\frac{dy}{dx}+P(x)\,y=Q(x)
em uma forma que seja a derivada de um produto. No nosso caso, comparando com essa forma, temos
P(x)=-1,\qquad Q(x)=e^{3x}.
O fator integrante \mu(x) é definido por
\mu(x)=\exp\!\bigg(\int P(x)\,dx\bigg).
Ele é construído para que, ao multiplicar a equação original por \mu(x), o membro esquerdo vire a derivada de \mu(x)\,y.

Passo 4

Calculo o fator integrante com P(x)=-1:
\mu(x)=\exp\!\bigg(\int -1\,dx\bigg)=\exp(-x)=e^{-x}.
Multiplico toda a equação por e^{-x}. A equação \dfrac{dy}{dx}-y=e^{3x} fica
e^{-x}\frac{dy}{dx}-e^{-x}y=e^{-x}e^{3x}.

Passo 5

Reconheço que o membro esquerdo é a derivada do produto e^{-x}y. De fato, usando a regra do produto:
\frac{d}{dx}\big(e^{-x}y\big)=e^{-x}\frac{dy}{dx}+\frac{d}{dx}\big(e^{-x}\big)\,y = e^{-x}\frac{dy}{dx}-e^{-x}y.
Portanto a equação multiplicada pode ser escrita como
\frac{d}{dx}\big(e^{-x}y\big)=e^{2x},
pois e^{-x}e^{3x}=e^{2x}.

Passo 6

Integro ambos os lados em relação a x. A integral do lado esquerdo elimina a derivada:
\int \frac{d}{dx}\big(e^{-x}y\big)\,dx = \int e^{2x}\,dx.
O lado esquerdo integra para e^{-x}y. O lado direito é uma exponencial, cuja integral é
\int e^{2x}\,dx=\frac{1}{2}e^{2x}+C,
onde C é a constante de integração. Assim obtenho
e^{-x}y=\frac{1}{2}e^{2x}+C.

Passo 7

Isolo y multiplicando ambos os lados por e^{x}:
y=e^{x}\!\left(\frac{1}{2}e^{2x}+C\right)=\frac{1}{2}e^{3x}+Ce^{x}.
Aqui C é uma constante arbitrária real, então essa fórmula representa a solução geral.

Passo 8

Para reforçar a ideia, apresento uma alternativa (mais direta): decompor em solução homogênea + particular.
  1. Solução homogênea da equação associada \dfrac{dy}{dx}-y=0.
    Separe variáveis: \dfrac{dy}{dx}=y\Rightarrow \dfrac{dy}{y}=dx.
    Integrando: \ln|y|=x+C_1\Rightarrow y_h=C e^{x}, com C arbitrária.
  2. Procura-se uma solução particular do tipo y_p=Ae^{3x} (porque o termo forçante é e^{3x}).
    Calculo \dfrac{dy_p}{dx}-y_p-e^{3x}=0:
3A e^{3x}-A e^{3x}-e^{3x}=0 \Rightarrow (2A-1)e^{3x}=0 \Rightarrow A=\tfrac{1}{2}.
Logo y_p=\tfrac{1}{2}e^{3x}.
Somando homogênea e particular:
y=y_h+y_p=\tfrac{1}{2}e^{3x}+Ce^{x},
igual ao resultado anterior.

Resposta

\displaystyle y(x)=\tfrac{1}{2}e^{3x}+Ce^{x}

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