Determine uma equação diferencial cuja solução seja y(t)=c1 e^2 t+c2 e^-3 t.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar uma equação diferencial cuja solução seja . Isso envolve assuntos de equações diferenciais lineares e soluções gerais. Vamos precisar entender como as soluções de equações diferenciais se relacionam com as suas equações características.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que quando temos uma solução geral de uma equação diferencial homogênea de segunda ordem, ela normalmente tem a forma , onde e são as raízes da equação característica associada.

Passo 3

No nosso caso, a solução é . Isso significa que as raízes da equação característica são e .

Passo 4

A equação característica para uma equação diferencial de segunda ordem da forma é . Queremos encontrar p e q que correspondam às raízes 2 e -3.

Passo 5

Sabemos que, para uma equação quadrática com raízes e , temos que:
  • Soma das raízes:
  • Produto das raízes:

Passo 6

Aplicando isso às nossas raízes:
  • Soma:
  • Produto:

Passo 7

Agora que temos os valores de p e q, podemos montar a equação diferencial:

Resposta

A equação diferencial desejada é .

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