para todo
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pergunta sobre o limite
, válido para qualquer
. Aqui, estamos lidando com limites e crescimento de funções envolvendo fatorial (
) e potências de
(
). Para resolver isso, vamos comparar como
e
crescem conforme
fica cada vez maior.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é
. O fatorial de
é o produto de todos os números inteiros de 1 até
:
Já
é
multiplicado por ele mesmo
vezes:
Nosso objetivo é comparar essas duas expressões para ver qual cresce mais rápido quando
tende ao infinito.
Passo 3
Vamos reescrever a expressão
de uma maneira que facilite a comparação:
Isso mostra que estamos dividindo cada termo do fatorial por
.
Passo 4
Vamos observar o comportamento de cada fração
onde
varia de 1 a
. Quando
cresce, para
menor que
,
fica cada vez menor, tendendo a zero. Apenas a última fração
é igual a 1.
Passo 5
Como temos
frações, a maioria delas está se aproximando de zero conforme
aumenta. Mesmo que a última fração seja 1, o produto de muitos números que estão se aproximando de zero fará com que todo o produto também se aproxime de zero.
Passo 6
Outra forma de ver isso é notar que
cresce muito mais rápido que qualquer potência
. Isto é, para valores grandes de
, o fatorial
domina
, fazendo com que a razão
se torne cada vez maior. No entanto, no nosso caso, estamos dividindo
por
, então o limite tende a zero.
Resposta
Portanto,
para todo
.