lim n infty n!n^k=0, para todo k in N.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pergunta sobre o limite lim n infty n!n^k=0, válido para qualquer k in N. Aqui, estamos lidando com limites e crescimento de funções envolvendo fatorial ( n!) e potências de n ( n^k). Para resolver isso, vamos comparar como n! e n^k crescem conforme n fica cada vez maior.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é n!. O fatorial de n é o produto de todos os números inteiros de 1 até n:
n! = 1 times 2 times 3 times dots times n
n^k é n multiplicado por ele mesmo k vezes:
n^k = n times n times dots times n (k vezes)
Nosso objetivo é comparar essas duas expressões para ver qual cresce mais rápido quando n tende ao infinito.

Passo 3

Vamos reescrever a expressão n!n^k de uma maneira que facilite a comparação:
n!n^k = 1 times 2 times 3 times dots times nn times n times dots times n = 1n times 2n times 3n times dots times nn
Isso mostra que estamos dividindo cada termo do fatorial por n.

Passo 4

Vamos observar o comportamento de cada fração mn onde m varia de 1 a n. Quando n cresce, para m menor que n, mn fica cada vez menor, tendendo a zero. Apenas a última fração nn é igual a 1.

Passo 5

Como temos n frações, a maioria delas está se aproximando de zero conforme n aumenta. Mesmo que a última fração seja 1, o produto de muitos números que estão se aproximando de zero fará com que todo o produto também se aproxime de zero.

Passo 6

Outra forma de ver isso é notar que n! cresce muito mais rápido que qualquer potência n^k. Isto é, para valores grandes de n, o fatorial n! domina n^k, fazendo com que a razão n!n^k se torne cada vez maior. No entanto, no nosso caso, estamos dividindo n! por n^k, então o limite tende a zero.

Resposta

Portanto, lim n infty n!n^k=0 para todo k in N.

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