Determine se a equação diferencial dada é exata. Se for exata, resolva-a.
((1-3/y+x) dy/dx+y=3/x-1)

Passo 1

O enunciado dá a equação
\bigl(1 - \frac{3}{y} + x\bigr)\,\frac{dy}{dx} + y = \frac{3}{x} - 1
e pede para checar se ela é exata e, em caso positivo, resolvê-la. O método de equações exatas envolve reescrever na forma
M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy = 0,
verificar se \partial M/\partial y = \partial N/\partial x e, sendo exata, encontrar uma função potencial \Psi(x,y) tal que
\frac{\partial \Psi}{\partial x} = M, \qquad \frac{\partial \Psi}{\partial y} = N.

Passo 2

Reescrevendo a equação original:
\bigl(1 - \tfrac{3}{y} + x\bigr)\,\frac{dy}{dx} + y - \bigl(\tfrac{3}{x} - 1\bigr) = 0.
Multiplicando tudo por dx, obtemos
\underbrace{\Bigl(y - \frac{3}{x} + 1\Bigr)}_{M(x,y)}\,dx + \underbrace{\Bigl(1 - \frac{3}{y} + x\Bigr)}_{N(x,y)}\,dy =0.

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais:
\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\Bigl(y +1 - \tfrac{3}{x}\Bigr) =1, \qquad \frac{\partial N}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}\Bigl(1 - \tfrac{3}{y} + x\Bigr) =1.
Como \partial M/\partial y=\partial N/\partial x, a equação é exata.

Passo 4

Buscamos \Psi(x,y) tal que
\frac{\partial \Psi}{\partial x} = M(x,y) = y +1 - \frac{3}{x}.
Integramos em relação a x, tratando y como constante:
\Psi(x,y) = \int\Bigl(y +1 - \tfrac{3}{x}\Bigr)\,dx = xy + x -3\ln\lvert x\rvert + h(y),
onde h(y) é uma função a determinar.

Passo 5

Agora impomos
\frac{\partial \Psi}{\partial y} = x + h'(y) \stackrel{!}{=} N(x,y) =1 - \frac{3}{y} + x.
Logo
h'(y) = 1 - \frac{3}{y},
h(y) = \int\Bigl(1 - \tfrac{3}{y}\Bigr)\,dy = y - 3\ln\lvert y\rvert + C_1.
Assim
\Psi(x,y) = xy + x - 3\ln\lvert x\rvert + y - 3\ln\lvert y\rvert.

Resposta

A solução geral, em forma implícita, é
xy + x + y - 3\ln\lvert x\rvert - 3\ln\lvert y\rvert = C,
com C constante de integração.

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