Determine se a equação diferencial dada é exata. Se for exata, resolva-a.
((1-3/y+x) dy/dx+y=3/x-1)
((1-3/y+x) dy/dx+y=3/x-1)
Passo 1
O enunciado dá a equação
e pede para checar se ela é exata e, em caso positivo, resolvê-la. O método de equações exatas envolve reescrever na forma
verificar se
e, sendo exata, encontrar uma função potencial
tal que
Passo 2
Reescrevendo a equação original:
Multiplicando tudo por
, obtemos
Passo 3
Calculamos as derivadas parciais:
Como
, a equação é exata.
Passo 4
Buscamos
tal que
Integramos em relação a
, tratando
como constante:
onde
é uma função a determinar.
Passo 5
Agora impomos
Logo
Assim
Resposta
A solução geral, em forma implícita, é
com
constante de integração.