Resolva a equação diferencial dada obtendo, como no Exemplo 4, um fator integrante apropriado.
y(x+y+1) d x+(x+2 y) d y=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
y(x+y+1)\,dx + (x+2y)\,dy = 0.
O conteúdo envolvido é o de fatores integrantes para tornar a equação exata. Vamos verificar a exatidão e, se necessário, encontrar um fator integrante adequado que dependa apenas de x.

Passo 2

Definimos
M(x,y) = y(x+y+1), \quad N(x,y) = x+2y.
Calculamos as derivadas parciais
\frac{\partial M}{\partial y} = x + 2y + 1, \qquad \frac{\partial N}{\partial x} = 1.
Como \partial M/\partial y \neq \partial N/\partial x, a equação não é exata.

Passo 3

Testamos um fator integrante \mu(x). Para isso, usamos o critério
\frac{\partial M/\partial y - \partial N/\partial x}{N} = \frac{(x+2y+1)-1}{x+2y} = \frac{x+2y}{x+2y} =1,
que é uma função de x (na verdade constante). Logo
\mu(x) = e^{\int 1\,dx} = e^x.

Passo 4

Multiplicamos a equação original por \mu(x)=e^x, obtendo
\widetilde M = e^x\,y(x+y+1), \qquad \widetilde N = e^x\,(x+2y).
Agora verificamos que
\frac{\partial \widetilde M}{\partial y} = e^x\,(x+2y+1), \quad \frac{\partial \widetilde N}{\partial x} = e^x\,(x+2y+1),
portanto a equação é exata.

Passo 5

Buscamos uma função potencial \Phi(x,y) tal que
\frac{\partial \Phi}{\partial x} = \widetilde M = e^x\,y(x+y+1).
Integramos em relação a x, tratando y como constante:
\Phi(x,y) = y\!\int e^x(x+y+1)\,dx = y\bigl(xe^x - e^x + (y+1)e^x\bigr) + g(y) = e^x\,y(x+y) + g(y).

Passo 6

Para determinar g(y), usamos
\frac{\partial \Phi}{\partial y} = e^x\bigl(x+2y\bigr) + g'(y) \stackrel{!}{=}\widetilde N = e^x\bigl(x+2y\bigr).
Isso implica g'(y)=0, logo g(y) é constante e pode ser absorvida na constante geral da solução.

Passo 7

A solução implícita fica
\Phi(x,y) = e^x\,y(x+y) = C,
onde C é constante arbitrária.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é
e^x\,y\,(x+y) = C.

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