Resolva a equação diferencial dada obtendo, como no Exemplo 4, um fator integrante apropriado.
y(x+y+1) d x+(x+2 y) d y=0
y(x+y+1) d x+(x+2 y) d y=0
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial
O conteúdo envolvido é o de fatores integrantes para tornar a equação exata. Vamos verificar a exatidão e, se necessário, encontrar um fator integrante adequado que dependa apenas de
.
Passo 2
Definimos
Calculamos as derivadas parciais
Como
, a equação não é exata.
Passo 3
Testamos um fator integrante
. Para isso, usamos o critério
que é uma função de
(na verdade constante). Logo
Passo 4
Multiplicamos a equação original por
, obtendo
Agora verificamos que
portanto a equação é exata.
Passo 5
Buscamos uma função potencial
tal que
Integramos em relação a
, tratando
como constante:
Passo 6
Para determinar
, usamos
Isso implica
, logo
é constante e pode ser absorvida na constante geral da solução.
Passo 7
A solução implícita fica
onde
é constante arbitrária.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é