Use O Teorema de Gauss para calcular o fluxo na superfície formada por z=3-x^{2}-y^{2} e z=0, onde \vec{F}(x, y, z)=\left(x y^{2}, e^{\operatorname{sen} z}, x^{2} z\right).

Passo 1

O enunciado pede o fluxo de \vec{F}(x,y,z)=(x y^{2},e^{\operatorname{sen} z},x^{2}z) através da superfície fechada S limitada pela parte de cima pela parábola z=3-x^{2}-y^{2} e de baixo pelo plano z=0. Como S é fechada, podemos usar o Teorema de Gauss (ou Divergência), que diz que
\iint_{S}\vec{F}\cdot\vec{n}\,dS =\iiint_{V}\bigl(\nabla\cdot\vec{F}\bigr)\,dV
onde V é o volume sob a parábola até z=0. Vamos então achar \nabla\cdot\vec{F} e calcular o triplo integral.

Passo 2

Calculamos a divergência de \vec{F}:
\nabla\cdot\vec{F} =\frac{\partial}{\partial x}(x y^{2}) +\frac{\partial}{\partial y}\bigl(e^{\operatorname{sen} z}\bigr) +\frac{\partial}{\partial z}(x^{2}z).
Note que
\frac{\partial}{\partial x}(x y^{2})=y^{2},\quad \frac{\partial}{\partial y}\bigl(e^{\operatorname{sen} z}\bigr)=0,\quad \frac{\partial}{\partial z}(x^{2}z)=x^{2}.
Logo,
\nabla\cdot\vec{F}=x^{2}+y^{2}.

Passo 3

O volume V é dado em coordenadas cilíndricas por
0\le r\le\sqrt{3},\quad 0\le\theta\le2\pi,\quad 0\le z\le3-r^{2}.
Em cilíndricas, x^{2}+y^{2}=r^{2} e dV=r\,dz\,dr\,d\theta. Assim o fluxo é
\iiint_{V}(x^{2}+y^{2})\,dV =\int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{r=0}^{\sqrt{3}}\int_{z=0}^{3-r^{2}} r^{2}\;r\,dz\,dr\,d\theta =\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\sqrt{3}}\int_{0}^{3-r^{2}}r^{3}\,dz\,dr\,d\theta.

Passo 4

Primeiro integramos em z:
\int_{0}^{3-r^{2}}r^{3}\,dz =r^{3}\bigl[z\bigr]_{0}^{3-r^{2}} =r^{3}(3-r^{2}) =3r^{3}-r^{5}.
Então
\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\sqrt{3}}(3r^{3}-r^{5})\,dr\,d\theta.

Passo 5

Agora integral em r:
\int_{0}^{\sqrt{3}}3r^{3}\,dr =3\cdot\frac{r^{4}}{4}\Big|_{0}^{\sqrt{3}} =3\cdot\frac{(\sqrt{3})^{4}}{4} =3\cdot\frac{9}{4} =\frac{27}{4},
\int_{0}^{\sqrt{3}}r^{5}\,dr =\frac{r^{6}}{6}\Big|_{0}^{\sqrt{3}} =\frac{(\sqrt{3})^{6}}{6} =\frac{27}{6} =\frac{9}{2}.
Subtraindo,
\int_{0}^{\sqrt{3}}(3r^{3}-r^{5})\,dr =\frac{27}{4}-\frac{9}{2} =\frac{27-18}{4} =\frac{9}{4}.
Por fim, integrar em \theta:
\int_{0}^{2\pi}\frac{9}{4}\,d\theta =\frac{9}{4}\cdot2\pi =\frac{9\pi}{2}.

Resposta

O fluxo de \vec{F} através da superfície é \displaystyle \frac{9\pi}{2}.

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