A solução do PVI
y^prime prime+y=l1, se 0 <= t<pi 0, se t >= pi ; y(0)=1, y^prime(0)=0 é:
a. y(t)=1-sin t-upi(t)(1-cos (t-pi))
b. y(t)=1+cos t-sin t-upi(t)(1-sin (t-pi))
C) y(t)=1+cos t+sin t-upi(t)(1-cos (t-pi))
d. y(t)=1-cos t+sin t-upi(t)(1-sin (t-pi))
e. y(t)=1+cos t-upi(t)(1-sin (t-pi))

Passo 1

O enunciado pede a solução do problema de valor inicial (PVI)
y''+y = f(t), f(t)=1,&0<= t<pi,0,&t>=pi, y(0)=1,;y'(0)=0 \r
O conteúdo é resolução de EDO linear in homogênea por partes, usando condição de contorno em t=pi e a função de Heaviside upi(t).

Passo 2

Para 0<= t<pi temos \r
y''+y=1 \r
A solução geral é
y(t)=Acos t+Bsin t+1 \r
Impondo y(0)=1 e y'(0)=0 obtemos \r
A+1=1implies A=0, B=0 \r
Logo, para 0<= t<pi \r
y(t)=1

Passo 3

Para t>=pi a equação fica \r
y''+y=0 \r
com condições de contorno em t=pi:
y(pi^-)=1, y'(pi^-)=0 \r
A solução de y''+y=0 escrita em torno de t=pi é
y(t)=Ccosl(t-pir)+Dsinl(t-pir), \r
e as condições dão
C=1, D=0 \r
Portanto, para t>=pi \r
y(t)=cosl(t-pir)

Passo 4

Em forma única usando a função de Heaviside upi(t), \r
y(t) =(1)l[1 - upi(t)r] +cosl(t-pir),upi(t) =1 - upi(t)+upi(t)cosl(t-pir)

Passo 5

Nenhuma das alternativas dadas coincide com \r
y(t)=1 - upi(t)+upi(t)cosl(t-pir), \r
pois todas as opções têm termos sin t ou cos t ativos para t<pi, o que não ocorre aqui.

Resposta

Não há alternativa correta dentre as listadas.

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