Determine se a equação diferencial dada é exata. Se for, resolva-a.
Passo 1
O enunciado fornece a equação diferencial
e pede para verificar se ela é exata e, em caso afirmativo, resolvê-la.
Conteúdo: equações de forma diferencial , teste de exatidão, fator integrante e função potencial.
Conteúdo: equações de forma diferencial
Passo 2
Reescrevemos em forma diferencial
. Movendo tudo para o mesmo lado,
Logo
Calculamos
Como
, a equação não é exata imediatamente.
Passo 3
Procuramos um fator integrante
dependente só de
. O critério é
que realmente depende só de
. Logo
Fazendo frações parciais e integrando,
Portanto, desprezando constante multiplicativa,
Passo 4
Multiplicamos toda a equação original por
. Obtemos
com
Por construção agora
, ou seja, a equação é exata.
Passo 5
Como é exata, existe
tal que
Integramos em
:
Diferenciando em
e igualando a
determina
. Fazendo as contas verifica-se
Assim
Passo 6
A solução geral é dada de forma implícita por
isto é,
onde
é constante arbitrária. Podemos reescrever, se quiser,
com
.
Resposta
A equação não é exata, mas admite fator integrante
. A solução geral, de forma implícita, é