Determine se a equação diferencial dada é exata. Se for, resolva-a.
3(1+t^2) d yd t=2 t y(y^3-1)

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial
3l(1+t^2r),dydt=2,t,yl(y^3-1r)
e pede para verificar se ela é exata e, em caso afirmativo, resolvê-la.
Conteúdo: equações de forma diferencial M(t,y),dt+N(t,y),dy=0, teste de exatidão, fator integrante e função potencial.

Passo 2

Reescrevemos em forma diferencial M,dt+N,dy=0. Movendo tudo para o mesmo lado,
3l(1+t^2r),dy-2,t,yl(y^3-1r),dt=0
Logo
M(t,y)=-2,t,yl(y^3-1r), N(t,y)=3l(1+t^2r)
Calculamos
partial Mpartial y =-2,tl[(y^3-1)+ycdot3y^2r] =-2,tl(4y^3-1r),
partial Npartial t =3cdot2t=6t
Como partial M/partial yneqpartial N/partial t, a equação não é exata imediatamente.

Passo 3

Procuramos um fator integrante mu dependente só de y. O critério é
partial Npartial t-partial Mpartial yM =6t-[-2t(4y^3-1)]-2t,y(y^3-1) =-2l(1+2y^3r)yl(y^3-1r),
que realmente depende só de y. Logo
mu(y) =exp!l(integral-2(1+2y^3)y(y^3-1),dyr)
Fazendo frações parciais e integrando,
integral-2(1+2y^3)y(y^3-1),dy =2ln|y|-2ln|y^3-1| =lny^2(y^3-1)^2
Portanto, desprezando constante multiplicativa,
mu(y)=y^2(y^3-1)^2

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original por mu(y). Obtemos
M^*(t,y),dt+N^*(t,y),dy=0,
com
M^*(t,y) =-2,t,y(y^3-1),y^2(y^3-1)^2 =-2t,y^3y^3-1,
N^*(t,y) =3(1+t^2),y^2(y^3-1)^2
Por construção agora partial M^*/partial y=partial N^*/partial t, ou seja, a equação é exata.

Passo 5

Como é exata, existe psi(t,y) tal que
partialpsipartial t=M^*(t,y), partialpsipartial y=N^*(t,y)
Integramos em t:
psi(t,y) =integral -2t,y^3y^3-1,dt =-t^2,y^3y^3-1+h(y)
Diferenciando em y e igualando a N^* determina h'(y). Fazendo as contas verifica-se
h'(y)=3y^2(y^3-1)^2 Longrightarrow h(y)=-1y^3-1
Assim
psi(t,y) =-t^2,y^3y^3-1-1y^3-1 =-t^2,y^3+1y^3-1

Passo 6

A solução geral é dada de forma implícita por
psi(t,y)=C,
isto é,
-t^2,y^3+1y^3-1=C,
onde C é constante arbitrária. Podemos reescrever, se quiser,
t^2,y^3+1y^3-1=K,
com K=-C.

Resposta

A equação não é exata, mas admite fator integrante mu(y)=y^2(y^3-1)^2. A solução geral, de forma implícita, é
-t^2,y^3+1y^3-1=C, CinR

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