Exemplo 2.5.9 A função f definida por f(x)=raizx-2x-4 é descontínua em x=4. Mostre que a descontinuidade é removível e redefina a função de modo que ela passe a ser contínua em x=4.
Solução: A desigualdade da função f em x=4 é uma desigualdade essencial se o limite da função, quando x 4, existe. Temos que x>0, pois x 4. Logo,
raizx-2x-4=raizx-2(raizx-2)(raizx+2)=1raizx+2
Assim,
lim x 4 f(x)=lim x 4 1raizx+2=14
Logo, a descontinuidade da função f é removível em x=4. Para a função f tornarse contínua em x=4, basta que a função f seja redefinida como a seguir:
f(x)=c raizx-2x-4, se x neq 4 14, se x=4

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=raizx-2x-4
que está descontinua em x=4. O objetivo é mostrar que essa descontinuidade é removível, calculando
limxto4f(x)
e, como o limite existir e for finito, redefinir f em x=4 para torná-la contínua.

Passo 2

Para simplificar f(x) quando xneq4, note que
x-4=(raizx-2)(raizx+2)
Logo, para xneq4,
f(x) =raizx-2x-4 =raizx-2(raizx-2)(raizx+2) =1raizx+2

Passo 3

Agora calculamos o limite usando a forma simplificada:
limxto4f(x) =limxto41raizx+2 =1raiz4+2 =12+2 =14

Passo 4

Como
limxto4f(x)=tfrac14
existe e é finito, concluímos que a descontinuidade em x=4 é removível. Para que f passe a ser contínua em x=4, basta redefinir seu valor nesse ponto igual ao limite.

Resposta

f(x)= raizx-2x-4, & x neq 4, [6pt] 14, & x=4 ]

Exercícios relacionados