Exemplo 2.5.9 A função
definida por
é descontínua em
. Mostre que a descontinuidade é removível e redefina a função de modo que ela passe a ser contínua em
.
Solução: A desigualdade da função
em
é uma desigualdade essencial se o limite da função, quando
, existe. Temos que
, pois
. Logo,
Assim,
Logo, a descontinuidade da função
é removível em
. Para a função
tornarse contínua em
, basta que a função
seja redefinida como a seguir:
Passo 1
O enunciado dá a função
que está descontinua em
. O objetivo é mostrar que essa descontinuidade é removível, calculando
e, como o limite existir e for finito, redefinir em
para torná-la contínua.
e, como o limite existir e for finito, redefinir
Passo 2
Para simplificar
quando
, note que
Logo, para
,
Passo 3
Agora calculamos o limite usando a forma simplificada:
Passo 4
Como
existe e é finito, concluímos que a descontinuidade em é removível. Para que
passe a ser contínua em
, basta redefinir seu valor nesse ponto igual ao limite.
existe e é finito, concluímos que a descontinuidade em