Determine se a equação diferencial dada é exata. Se for, resolva-a.
(\left(4 t^{3} y-15 t^{2}-y\right) d t+\left(t^{4}+3 y^{2}-t\right) d y=0)
(\left(4 t^{3} y-15 t^{2}-y\right) d t+\left(t^{4}+3 y^{2}-t\right) d y=0)
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial
e pede para verificar se é exata e, em caso afirmativo, resolvê-la. Para isso, identificamos
onde a teoria diz que a equação é exata se
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais:
Como
a equação é exata.
Passo 3
Em uma equação exata existe uma função potencial
tal que
Integramos
em relação a
:
onde
é uma “constante” de integração que pode depender de
.
Passo 4
Para determinar
, usamos a condição
Calculamos
logo
Passo 5
Substituindo
em
, obtemos a solução implícita geral:
onde
é constante arbitrária.