Determine se a equação diferencial dada é exata. Se for, resolva-a.
(\left(4 t^{3} y-15 t^{2}-y\right) d t+\left(t^{4}+3 y^{2}-t\right) d y=0)

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
(4t^3y - 15t^2 - y),dt ;+;(t^4 + 3y^2 - t),dy ;=;0
e pede para verificar se é exata e, em caso afirmativo, resolvê-la. Para isso, identificamos
M(t,y) = 4t^3y - 15t^2 - y, N(t,y) = t^4 + 3y^2 - t,
onde a teoria diz que a equação é exata se
partial Mpartial y ;=;partial Npartial t

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais:
partial Mpartial y = 4t^3 - 1, partial Npartial t = 4t^3 - 1
Como
partial Mpartial y = partial Npartial t,
a equação é exata.

Passo 3

Em uma equação exata existe uma função potencial Psi(t,y) tal que
partial Psipartial t = M(t,y)
Integramos M em relação a t:
Psi(t,y) = integral l(4t^3y - 15t^2 - yr),dt = y,t^4 - 5t^3 - y,t + h(y),
onde h(y) é uma “constante” de integração que pode depender de y.

Passo 4

Para determinar h(y), usamos a condição
partial Psipartial y = N(t,y)
Calculamos
partial Psipartial y = t^4 - t + h'(y) stackrel!= t^4 + 3y^2 - t,
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h'(y) = 3y^2 Longrightarrow h(y) = y^3

Passo 5

Substituindo h(y) em Psi, obtemos a solução implícita geral:
Psi(t,y) = t^4y ;-;5t^3 ;-;t y ;+;y^3 = C,
onde C é constante arbitrária.

Resposta

t^4y ;-;5t^3 ;-;t,y ;+;y^3 = C

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