Determine se a equação diferencial dada é exata. Se for, resolva-a.
(\left(2 y-\frac{1}{x}+\cos 3 x\right) \frac{d y}{d x}+\frac{y}{x^{2}}-4 x^{3}+3 y \operatorname{sen} 3 x=0)

Passo 1

Vamos primeiro reescrever a equação diferencial na forma
M(x,y),dx + N(x,y),dy = 0
O enunciado é
l(2y - tfrac1x + cos3xr),dydx ;+;yx^2 -4x^3 +3ysin3x ;=;0
Multiplicando por dx, obtemos
l(tfracyx^2-4x^3+3ysin3xr),dx ;+;l(2y - tfrac1x + cos3xr),dy ;=;0
Assim, identificamos
M(x,y)=yx^2-4x^3+3ysin3x, N(x,y)=2y - 1x + cos3x

Passo 2

Para verificar exatidão, calculamos as derivadas parciais
partial Mpartial y =partialpartial yl(yx^2-4x^3+3ysin3xr) =1x^2+3sin3x,
partial Npartial x =partialpartial xl(2y - tfrac1x + cos3xr) =;0;+;1x^2;-;3sin3x

Passo 3

Comparamos
partial Mpartial y =1x^2+3sin3x, partial Npartial x =1x^2-3sin3x
Vemos que
partial M/partial yneq partial N/partial x.

Resposta

A equação diferencial não é exata, pois
partial Mpartial y ;=;1x^2+3sin3x neq partial Npartial x ;=;1x^2-3sin3x
Portanto, não podemos resolvê-la diretamente como exata.

Exercícios relacionados