Determine se a equação diferencial dada é exata. Se for, resolva-a.
(\left(2 y-\frac{1}{x}+\cos 3 x\right) \frac{d y}{d x}+\frac{y}{x^{2}}-4 x^{3}+3 y \operatorname{sen} 3 x=0)
(\left(2 y-\frac{1}{x}+\cos 3 x\right) \frac{d y}{d x}+\frac{y}{x^{2}}-4 x^{3}+3 y \operatorname{sen} 3 x=0)
Passo 1
Vamos primeiro reescrever a equação diferencial na forma
O enunciado é
Multiplicando por
, obtemos
Assim, identificamos
Passo 2
Para verificar exatidão, calculamos as derivadas parciais
Passo 3
Comparamos
Vemos que
.
Resposta
A equação diferencial não é exata, pois
Portanto, não podemos resolvê-la diretamente como exata.