Determine a solução.
21. 13 x^3+x^2 y+x y^2-y=43

Passo 1

O enunciado pede para encontrar y em função de x a partir da equação implícita
13x^3+x^2y+x,y^2-y=43
O conteúdo é resolução de uma equação algébrica quadrática em y. Vamos tratar tudo em TeX e aplicar a fórmula de Bhaskara para isolar y.

Passo 2

Reescrevendo a equação acima como um polinômio em y, temos
x,y^2+l(x^2-1r)y+13x^3-43=0
Aqui o coeficiente quadrático é a=x, o coeficiente linear é b=x^2-1 e o termo independente é
c=13x^3-43

Passo 3

Pela fórmula de Bhaskara, as soluções para y são dadas por
y=-bpmraizb^2-4ac2a
Substituindo a, b e c, fica
y=-(x^2-1)pmraiz(x^2-1)^2-4,xl(tfrac13x^3-tfrac43r)2x

Passo 4

Calculemos o discriminante
De<a=(x^2-1)^2-4xl(tfrac13x^3-tfrac43r) =x^4-2x^2+1-4x^43+16x3
Juntando termos semelhantes, obtemos
De<a=-tfrac13x^4-2x^2+tfrac163x+1

Passo 5

Logo, as duas possíveis soluções para y são
y(x) =1-x^2pmraiz-tfrac13x^4-2x^2+tfrac163x+12x,
válidas para xneq0 e desde que o discriminante seja não-negativo.

Resposta

y(x) =1-x^2pmraiz-tfrac13x^4-2x^2+tfrac163x+12x

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