Determine se a equação diferencial dada é exata. Se for, resolva-a.
((2 x-1) d x+(3 y+7) d y=0)

Passo 1

Aqui a gente tem a equação diferencial (2x-1),dx + (3y+7),dy = 0. Esse tipo de EDO de primeira ordem pode ser exata se existir uma função potencial psi(x,y) tal que dpsi = M,dx + N,dy. Vamos precisar verificar a condição de exatidão e, se ela valer, achar psi(x,y).

Passo 2

Definimos M(x,y) = 2x - 1 e N(x,y) = 3y + 7. A condição de exatidão é
partial Mpartial y = partial Npartial x.
Calculando, temos partial M/partial y = 0 e partial N/partial x = 0. Como os dois são iguais, a equação é exata.

Passo 3

Como é exata, existe psi(x,y) tal que dpsi = M,dx + N,dy. Vamos integrar M em relação a x:
psi(x,y) = integral (2x - 1),dx = x^2 - x + h(y)

Passo 4

Para descobrir h(y), derivamos psi em relação a y:
partial psipartial y = h'(y)
E igualamos a N(x,y):
h'(y) = 3y + 7
Integrando em relação a y:
h(y) = 32y^2 + 7y
Logo, a função potencial é
psi(x,y) = x^2 - x + 32y^2 + 7y

Resposta

x^2 - x + 32y^2 + 7y = C

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