Determine se a equação diferencial dada é exata. Se for, resolva-a.
((2 x-1) d x+(3 y+7) d y=0)
((2 x-1) d x+(3 y+7) d y=0)
Passo 1
Aqui a gente tem a equação diferencial
. Esse tipo de EDO de primeira ordem pode ser exata se existir uma função potencial
tal que
. Vamos precisar verificar a condição de exatidão e, se ela valer, achar
.
Passo 2
Definimos
e
. A condição de exatidão é
.
Calculando, temos e
. Como os dois são iguais, a equação é exata.
Calculando, temos
Passo 3
Como é exata, existe
tal que
. Vamos integrar
em relação a
:
Passo 4
Para descobrir
, derivamos
em relação a
:
E igualamos a
:
Integrando em relação a
:
Logo, a função potencial é