Resolva os PVI’s sabendo que são EDO’s não-exatas.
ly^prime=e^2 x+y-1 y(0)=-3

Passo 1

O enunciado pede resolver o PVI não exato
y' = e^2x + y - 1, y(0) = -3
Esse problema é uma EDO linear de primeira ordem no formato
y' + p(x),y = q(x),
logo vamos usar fator integrante para achar a solução geral e depois aplicar a condição inicial.

Passo 2

Reescrevendo em forma padrão identificamos
y' - y = e^2x - 1,
ou seja,
p(x) = -1, q(x) = e^2x - 1

Passo 3

O fator integrante mu(x) é dado por
mu(x) = e^integral p(x),dx = e^integral (-1),dx = e^-x

Passo 4

Multiplicando a EDO por mu(x) obtemos
e^-xy' - e^-xy = e^-xl(e^2x-1r) = e^x - e^-x
O lado esquerdo é exatamente a derivada de e^-xy, ou seja,
l(e^-xyr)' = e^x - e^-x

Passo 5

Integramos ambos os lados em x:
integral l(e^-xyr)' ,dx = integral l(e^x - e^-xr),dx
e^-xy = integral e^x,dx - integral e^-x,dx + C = e^x + e^-x + C

Passo 6

Isolando y temos
y = e^xl(e^x + e^-x + Cr) = e^2x + 1 + C,e^x

Passo 7

Usamos a condição inicial y(0)=-3:
y(0) = e^0 + 1 + C,e^0 = 1 + 1 + C = 2 + C = -3 Longrightarrow C = -5

Resposta

boxedy(x) = e^2x - 5,e^x + 1

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