Determine se a equação diferencial dada é exata. Se for, resolva-a
\left(y^{3}-y^{2} \operatorname{sen}(x)-x\right) d x+\left(3 x y^{2}+2 y \cos x\right) d y

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a equação diferencial
\bigl(y^{3}-y^{2}\sin(x)-x\bigr)\,dx + \bigl(3xy^{2}+2y\cos(x)\bigr)\,dy = 0
é exata e, em caso afirmativo, encontrar sua solução geral. Vamos usar o conceito de exatidão: uma equação M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy=0 é exata se \partial M/\partial y = \partial N/\partial x.

Passo 2

Identificamos
M(x,y) = y^{3} - y^{2}\sin(x) - x, \quad N(x,y) = 3xy^{2} + 2y\cos(x).
Calculamos as derivadas parciais:
\frac{\partial M}{\partial y} = 3y^{2} - 2y\sin(x),
\frac{\partial N}{\partial x} = 3y^{2} - 2y\sin(x).
Como \partial M/\partial y = \partial N/\partial x, a equação é exata.

Passo 3

Para resolver, procuramos uma função potencial \psi(x,y) tal que \partial \psi/\partial x = M e \partial \psi/\partial y = N.
Integramos M em relação a x:
\psi(x,y) = \int \bigl(y^{3} - y^{2}\sin(x) - x\bigr)\,dx = x\,y^{3} + y^{2}\cos(x) - \frac{x^{2}}{2} + h(y),
onde h(y) é função de y a determinar.

Passo 4

Impondo \partial \psi/\partial y = N, temos
\frac{\partial \psi}{\partial y} = 3x\,y^{2} + 2y\cos(x) + h'(y) \stackrel{!}{=} 3x\,y^{2} + 2y\cos(x).
Logo h'(y)=0, isto é, h(y) é constante.

Passo 5

A função potencial fica
\psi(x,y) = x\,y^{3} + y^{2}\cos(x) - \frac{x^{2}}{2} + C.
A solução geral é dada implicitamente por \psi(x,y)=\text{constante}.

Resposta

x\,y^{3} + y^{2}\cos(x) - \frac{x^{2}}{2} = C.

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