Resolva a equação diferencial dada encontrando, o fator integrante μ(x, y) apropriado.
\left(2 x^{2}+y\right) d x+\left(x^{2}-x\right) d y=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
(2x^{2}+y)\,dx + (x^{2}-x)\,dy = 0
que não é exata a princípio. Vamos testar exatidão, depois buscar um fator integrante \mu que torne a equação exata e, por fim, encontrar a solução geral.

Passo 2

Analisamos M(x,y)=2x^{2}+y e N(x,y)=x^{2}-x. Calculamos:
\frac{\partial M}{\partial y}=1, \qquad \frac{\partial N}{\partial x}=2x-1.
Como 1\neq 2x-1, a equação não é exata.

Passo 3

Testamos se existe \mu função apenas de x. Usamos a condição
\frac{\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}}{N}
e vemos se depende só de x:
\frac{1-(2x-1)}{x^{2}-x} =\frac{2-2x}{x(x-1)} =\frac{-2(x-1)}{x(x-1)} =-\frac{2}{x}.
Logo um fator integrante é
\mu(x) =\exp\!\Bigl(\int -\frac{2}{x}\,dx\Bigr) =\exp(-2\ln|x|) =\frac{1}{x^{2}}.

Passo 4

Multiplicamos a equação original por \mu(x)=x^{-2}. Obtemos
\Bigl(2+\frac{y}{x^{2}}\Bigr)\,dx + \Bigl(1-\frac{1}{x}\Bigr)\,dy = 0.
Agora
\tilde M=2+\frac{y}{x^{2}}, \quad \tilde N=1-\frac{1}{x}
e verifica-se
\frac{\partial \tilde M}{\partial y} =\frac{1}{x^{2}} , \quad \frac{\partial \tilde N}{\partial x} =\frac{1}{x^{2}},
ou seja, é exata.

Passo 5

Como é exata, existe \psi(x,y) tal que
\frac{\partial \psi}{\partial x} =2+\frac{y}{x^{2}}.
Integramos em relação a x:
\psi(x,y) =\int\Bigl(2+\frac{y}{x^{2}}\Bigr)dx =2x - \frac{y}{x} + h(y).
Para determinar h(y), exigimos
\frac{\partial \psi}{\partial y} =-\frac{1}{x}+h'(y) \stackrel{!}{=} 1-\frac{1}{x}
de onde h'(y)=1 e h(y)=y.

Passo 6

Portanto a função potencial é
\psi(x,y) =2x - \frac{y}{x} + y
e a solução implícita geral é
\psi(x,y)=C,
isto é
2x + y - \frac{y}{x} = C.

Resposta

O fator integrante é
\mu(x)=\frac{1}{x^{2}}
e a solução geral da equação diferencial é
2x + y - \frac{y}{x} = C.

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