Resolva a equação diferencial dada encontrando, o fator integrante
apropriado.
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial
que não é exata a princípio. Vamos testar exatidão, depois buscar um fator integrante
que torne a equação exata e, por fim, encontrar a solução geral.
Passo 2
Analisamos
e
. Calculamos:
Como
, a equação não é exata.
Passo 3
Testamos se existe
função apenas de
. Usamos a condição
e vemos se depende só de
:
Logo um fator integrante é
Passo 4
Multiplicamos a equação original por
. Obtemos
Agora
e verifica-se
ou seja, é exata.
Passo 5
Como é exata, existe
tal que
Integramos em relação a
:
Para determinar
, exigimos
de onde
e
.
Passo 6
Portanto a função potencial é
e a solução implícita geral é
isto é
Resposta
O fator integrante é
e a solução geral da equação diferencial é