Resolva a equação.
\frac{d y}{d x}=\frac{e^{x+y}}{y-1}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial \displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{e^{x+y}}{y-1}.
Esta é uma equação de variáveis separáveis: podemos isolar tudo que depende de y de um lado e tudo que depende de x do outro e então integrar.

Passo 2

Separe as variáveis. Note que \displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{e^x\,e^y}{y-1},
logo, multiplicando por \frac{y-1}{e^y}\,dx, obtemos
(y-1)e^{-y}\,dy \;=\; e^x\,dx.

Passo 3

Integre os dois lados.
À esquerda temos
\int (y-1)e^{-y}\,dy =\int y\,e^{-y}\,dy\;-\;\int e^{-y}\,dy.
Para \int y\,e^{-y}\,dy, use integração por partes com u=y e dv=e^{-y}dy:
\int y\,e^{-y}\,dy =-y\,e^{-y}-\int(-e^{-y})\,dy =-y\,e^{-y}-e^{-y}.
Então
\int (y-1)e^{-y}\,dy =\bigl(-y\,e^{-y}-e^{-y}\bigr)-\bigl(-e^{-y}\bigr) =-y\,e^{-y}.
À direita,
\int e^x\,dx = e^x + C.

Passo 4

Igualando as integrais:
-\,y\,e^{-y} = e^x + C.
Multiplicando por -1 e reorganizando, fica
y\,e^{-y} + e^x = C_1,
onde C_1 é uma constante de integração.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é dada implicitamente por
\boxed{y\,e^{-y} + e^x = C,}
com C constante de integração.

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