Encontre a solução
\frac{d y}{d t}+2 y=50 e^{-10 t}, y(0)=40

Passo 1

O enunciado nos dá uma equação diferencial de primeira ordem linear
\frac{dy}{dt} + 2\,y = 50\,e^{-10t},
com condição inicial y(0)=40. O conteúdo é o método do fator integrante para ODEs lineares.

Passo 2

Calculamos o fator integrante
\mu(t) = e^{\int 2\,dt} = e^{2t}.
Multiplicando a equação original por \mu(t), obtemos
e^{2t}\frac{dy}{dt} + 2\,e^{2t}y = 50\,e^{2t}e^{-10t},
e o lado esquerdo é a derivada de e^{2t}y.

Passo 3

Reescrevendo como derivada e integrando, temos
\frac{d}{dt}\bigl(e^{2t}y\bigr) = 50\,e^{-8t}
\implies e^{2t}y = \int 50\,e^{-8t}\,dt = 50\cdot\bigl(-\tfrac{1}{8}\bigr)e^{-8t} + C = -\tfrac{25}{4}\,e^{-8t} + C.

Passo 4

Isolando y, divide-se por e^{2t}:
y(t) = -\tfrac{25}{4}\,e^{-8t}e^{-2t} + C\,e^{-2t} = -\tfrac{25}{4}\,e^{-10t} + C\,e^{-2t}.

Passo 5

Aplicamos y(0)=40:
40 = -\tfrac{25}{4}\cdot 1 + C\cdot 1 \quad\Longrightarrow\quad C = 40 + \tfrac{25}{4} = \tfrac{160+25}{4} = \tfrac{185}{4}.

Resposta

y(t) = \frac{185}{4}\,e^{-2t} \;-\;\frac{25}{4}\,e^{-10t}.

Exercícios relacionados