Escreva as seguintes expressões sem utilizar sinais do valor absoluto, separando em dois ou mais casos quando for necessário (veja o modelo abaixo):
|x-2|-1=lll x-3 & se & x >= 2 -x+1 & se & x<2
d) ||x-3|-2|)

Passo 1

Temos a expressão
l|;|x-3|-2r|
e queremos eliminar todos os sinais de valor absoluto, escrevendo-a em forma de função por partes. O conteúdo teórico aqui é o uso da propriedade
|A| = A, & A>=0, -,A, & A<0,
aplicada primeiro ao valor interno A=|x-3|-2 e depois ao termo |x-3|.

Passo 2

Definimos a quantidade intermediária
y = |x-3|
Então a expressão vira
l|;|x-3|-2r| = |,y-2|,

Passo 3

Para remover o valor absoluto externo, separamos em dois casos segundo y-2>=0 ou y-2<0. Ou seja:
– Caso y-2>=0, isto é y>=2, então
|,y-2| = y-2
– Caso y-2<0, isto é y<2, então
|,y-2| = 2-y
Agora substituímos y=|x-3| em cada condição:
bul<=t y>=2 equivale a |x-3|>=2, ou seja
x-3>=2 Longrightarrow x>=5, ou x-3<=-2Longrightarrow x<=1
bul<=t y<2 equivale a |x-3|<2, ou seja
1<x<5

Passo 4

Dentro de cada região, removemos agora |x-3| usando x-3>=0 ou x-3<0:
1 Região x>=5: aqui x-3>=2>0, logo |x-3|=x-3. Como também |x-3|>=2, usamos y-2:
|,|x-3|-2| = y-2 = (x-3)-2 = x-5
2 Região x<=1: aqui x-3<=-2<0, então |x-3|=3-x. E |x-3|>=2, logo
|,|x-3|-2| = y-2 = (3-x)-2 = 1-x
3 Região 1<x<5: aqui |x-3|<2, então usamos 2-y. Precisamos ainda distinguir x<3 ou x>=3:
\quad a) Se 1<x<3, então x-3<0 e |x-3|=3-x. Assim
|,|x-3|-2| = 2-y = 2-(3-x) = x-1
\quad b) Se 3<= x<5, então x-3>=0 e |x-3|=x-3. Logo
|,|x-3|-2| = 2-y = 2-(x-3) = 5-x

Passo 5

Reunindo todos os casos em uma única definição por partes, obtemos:
l|;|x-3|-2r| = 1 - x, & x <= 1, x - 1, & 1 < x < 3, 5 - x, & 3 <= x < 5, x - 5, & x >= 5

Resposta

l|;|x-3|-2r| = 1 - x, & x <= 1, x - 1, & 1 < x < 3, 5 - x, & 3 <= x < 5, x - 5, & x >= 5

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