Determine se a equação diferencial dada é exata. Se for, resolva-a.
((2 x+y) d x-(x+6 y) d y=0)

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
(2x+y),dx-(x+6y),dy=0
que podemos escrever na forma
M(x,y),dx+N(x,y),dy=0
Para saber se ela é exata, vamos usar o critério de exatidão:
partial Mpartial y=partial Npartial x

Passo 2

Identificamos
M(x,y)=2x+y, N(x,y)=-(x+6y)
Agora calculamos as derivadas parciais:
partial Mpartial y =partialpartial y(2x+y)=1,
partial Npartial x =partialpartial xl(-x-6yr)=-1

Passo 3

Como
partial Mpartial y=1 neq -1=partial Npartial x,
o critério de exatidão não se verifica, ou seja, a equação não é exata.

Resposta

A equação diferencial não é exata, pois
partial M/partial y=1neq -1=partial N/partial x.

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