Escreva as seguintes expressões sem utilizar sinais do valor absoluto, separando em dois ou mais casos quando for necessário (veja o modelo abaixo):
|x-2|-1=lll x-3 & se & x >= 2 -x+1 & se & x<2
c) |x-1|-|2-x|)

Passo 1

O enunciado pede para escrever sem valor absoluto a expressão
f(x) = |x-1| - |2-x|
O conteúdo é definição de valor absoluto e funções por partes. Para resolver, vamos usar que
|u| = u, & se u>=0, -u, & se u<0
Devemos identificar onde mudam de sinal as expressões dentro dos módulos: x-1 e 2-x.

Passo 2

Encontramos os pontos críticos resolvendo
x-1 = 0implies x=1, 2-x=0implies x=2
Então consideramos os intervalos x<1, 1<= x<2 e x>=2, e em cada um determinamos o sinal de x-1 e de 2-x.

Passo 3

Para x<1:
x-1<0,2-x>0
Logo
|x-1| = -(x-1) = -x+1, |2-x| = 2-x,
e portanto
|x-1| - |2-x| = (-x+1) - (2-x) = -1

Passo 4

Para 1 <= x < 2:
x-1>=0,2-x>0
Então
|x-1| = x-1, |2-x| = 2-x,
e
|x-1| - |2-x| = (x-1) - (2-x) = 2x - 3

Passo 5

Para x >= 2:
x-1>=0,2-x<=0
Assim
|x-1| = x-1, |2-x| = -(2-x) = x-2,
e
|x-1| - |2-x| = (x-1) - (x-2) = 1

Resposta

|x-1| - |2-x| = -1, & se x < 1, 2x - 3, & se 1 <= x < 2, 1, & se x >= 2

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