Encontre os valores x que satisfaz cada uma das seguintes desigualdades:
(q) 9-x^2<16-x^21+x <= 2+x

Passo 1

Resumo do enunciado: precisamos resolver o sistema de desigualdades
9 - x^2 < 16 - x^21 + x e 16 - x^21 + x <= 2 + x,
considerando o domínio real menos o ponto x=-1 (pois o denominador fica zero). Como há o termo tfrac11+x, vamos separar os casos 1+x>0 (isto é, x>-1) e 1+x<0 (isto é, x<-1) para multiplicar sem medo do sinal.

Passo 2

Resolvendo 9 - x^2 < dfrac16 - x^21 + x.
Caso A: x>-1.
Aqui 1+x>0, então multiplicamos ambos os lados por 1+x sem inverter o sinal:
(9 - x^2)(1 + x) < 16 - x^2
Expandindo e rearranjando dá
-,x^3 + 9x -7 < 0 Long<=ftrightarrow x^3 - 9x + 7 > 0
Caso B: x<-1.
Agora 1+x<0, então ao multiplicar invertemos o sinal:
(9 - x^2)(1 + x) > 16 - x^2 Long<=ftrightarrow -,x^3 + 9x -7 > 0 Long<=ftrightarrow x^3 - 9x + 7 < 0

Passo 3

Analisando o sinal de f(x)=x^3-9x+7. Seus três zeros reais aproximados são
r1approx -3,334, r2approx 0,845, r3approx 2,492
O sinal de f(x) é “ +” para xin(r1,r2)cup(r3,infty) e “ -” para xin(-infty,r1)cup(r2,r3).
  • Em x>-1 (Caso A) queremos f(x)>0, logo xin(-1,;r2),cup,(r3,infty)
  • Em x<-1 (Caso B) queremos f(x)<0, logo xin(-infty,;r1)
Portanto a solução da primeira desigualdade é
xin(-infty,r1);cup;(-1,r2);cup;(r3,infty)

Passo 4

Resolvendo 16 - x^21 + x<= 2 + x.
Caso A: x>-1. Multiplicando por 1+x>0:
16 - x^2 <= (2+x)(1+x)=2+3x+x^2 ;Longrightarrow; 2x^2+3x-14>=0
As raízes da quadrática 2x^2+3x-14=0 são x=-3,5 e x=2, e o coeficiente de x^2 é positivo, logo
x<= -3,5ou x>=2
Interseção com x>-1 fica x>=2.
Caso B: x<-1. Multiplicando por 1+x<0 inverte o sinal:
16 - x^2 >= 2+3x+x^2 ;Longrightarrow; 2x^2+3x-14<=0 ;Longrightarrow; -3,5<= x<=2
Interseção com x<-1 -3,5<= x<-1.
Assim a solução da segunda desigualdade é
xin[-3,5,-1);cup;[2,infty)

Passo 5

Agora fazemos a interseção das soluções:
l((-infty,r1)cup(-1,r2)cup(r3,infty)r) ;cap; l([-3,5,-1)cup[2,infty)r)
Dessas partes só sobrevivem
(-infty,r1),cap;[-3,5,-1) ;=; [-3,5,;r1) e (r3,infty),cap;[2,infty) ;=; (r3,infty)
Lembrando r1approx -3,334 e r3approx2,492, e excluindo x=-1.

Resposta

xinl[-3,5,,-3,334ldotsr);cup;l(2,492ldots,inftyr)

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