Determine se a equação diferencial dada é ou não exata. Para as exatas determine suas soluções gerais e não deixe de testar as soluções encontradas.
(\operatorname{tg} x-\operatorname{sen} x \cdot \operatorname{sen} y) d x+\cos x \cdot \cos y d y=0
(\operatorname{tg} x-\operatorname{sen} x \cdot \operatorname{sen} y) d x+\cos x \cdot \cos y d y=0
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede para verificar se é exata. Se for, devemos encontrar a solução geral e testar que de fato satisfaz a equação.
Passo 2
Identificamos
Calculamos as derivadas parciais:
Como
, a equação é exata.
Passo 3
Procuramos uma função potencial
tal que
Integramos
em relação a
:
Como
e
, obtemos
onde
é função a determinar.
Passo 4
Exigimos que
deva ser igual a
. Logo
e assim
.
Passo 5
Portanto a solução implícita geral é
Para testar, derivamos implicitamente em relação a
:
ou seja
que é exatamente a forma
.
Resposta
A equação é exata e sua solução geral é