Determine se a equação diferencial dada é ou não exata. Para as exatas determine suas soluções gerais e não deixe de testar as soluções encontradas.
(\operatorname{tg} x-\operatorname{sen} x \cdot \operatorname{sen} y) d x+\cos x \cdot \cos y d y=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
(tan x - sin xsin y),dx + cos xcos y,dy = 0
e pede para verificar se é exata. Se for, devemos encontrar a solução geral e testar que de fato satisfaz a equação.

Passo 2

Identificamos
M(x,y)=tan x - sin xsin y, N(x,y)=cos xcos y
Calculamos as derivadas parciais:
partial Mpartial y =partialpartial y(-sin xsin y) =-sin xcos y,
partial Npartial x =partialpartial x(cos xcos y) =-sin xcos y
Como partial M/partial y=partial N/partial x, a equação é exata.

Passo 3

Procuramos uma função potencial phi(x,y) tal que
partial phipartial x=M(x,y)
Integramos M em relação a x:
phi(x,y)=integrall(tan x - sin xsin yr),dx =integraltan x,dx - sin yintegralsin x,dx
Como integraltan x,dx=-lnlvertcos xrvert e integralsin x,dx=-cos x, obtemos
phi(x,y)=-lnlvertcos xrvert + cos x,sin y + h(y),
onde h(y) é função a determinar.

Passo 4

Exigimos que
partial phipartial y =cos xcos y + h'(y)
deva ser igual a N(x,y)=cos xcos y. Logo
cos xcos y + h'(y)=cos xcos y Longrightarrow h'(y)=0
e assim h(y)=constante.

Passo 5

Portanto a solução implícita geral é
-lnlvertcos xrvert + cos x,sin y = C
Para testar, derivamos implicitamente em relação a x:
-l(-tan xr) +l(-sin xsin y + cos xcos y,y'r)=0
ou seja
tan x - sin xsin y + cos xcos y,y'=0,
que é exatamente a forma M+N,y'=0.

Resposta

A equação é exata e sua solução geral é
-lnlvertcos xrvert + cos x,sin y = C

Exercícios relacionados