[Equação de d’Alembert-Lagrange] A equação
é conhecida como a equação de d’Alembert-Lagrange. Suponha que
são deriváveis.
(a) Se
para algum
, mostre que
é solução da equação.
(b) Se
, para todo
, derive a equação com relação a
e obtenha a equação linear
A solução de
é expressa na forma paramétrica
, onde
e a solução de
e
é dado por
.
(c) Use esse método para resolver as equaçães:
(d) A equação
com
é chamada a equação de Clairaut. Mostre que além das soluções
tem a solução
.
(a) Se
(b) Se
(c) Use esse método para resolver as equaçães:
Passo 1
O enunciado trata da equação de d’Alembert–Lagrange
com
deriváveis.
(a) pede mostrar que, se existir tal que
, então
(a) pede mostrar que, se existir
é solução.
(b) pede diferenciar em e obter a EDO linear em
,
(b) pede diferenciar em
(c) aplica esse método ao caso
e
.
(d) mostra, no caso (Clairaut), além das retas
a “solução singular”
.
(d) mostra, no caso
Passo 2
(a) Queremos verificar que, se
, então
satisfaz
e
.
De fato, assumindo temos
De fato, assumindo
ou seja
. No lado direito da equação original surge
onde usamos
. Logo
coerentemente satisfaz a equação dada.
Passo 3
(b) Partindo de
diferenciamos ambos os lados em relação a
. No lado esquerdo vem
. No direito, por produto e cadeia,
Portanto
Invertendo
em
obtemos
que é uma EDO linear em
.
Passo 4
Para resolver
com
usamos fator integrante
de modo que
Depois
é dado por
Passo 5
(c) No caso
e
temos
Então
O fator integrante é
Calcula-se então
Logo
E finalmente
Passo 6
(d) Se
então
e a fórmula de (b) degenera: é o caso de Clairaut
As soluções retas vêm de
genérico, ou seja
arbitrário, dando
A “solução singular” obtém-se reconhecendo que, para envelope,
, ou diretamente diferenciando em
:
Mas em Clairaut não há
na equação original, de modo que impomos
e então
Resposta
(a) Se
, então
satisfaz a equação.
(b) Diferenciando em chega-se a
(b) Diferenciando em
(c) Para
,
obtém-se
(d) Se
(Clairaut), além de
surge a solução singular