[Equações de Ricatti] Uma equação de Ricatti é uma equação diferencial ordinária do tipo
Observe que quando
, obtemos a equação de Bernoulli.
(a) Mostre que a equação
é uma equação de Ricatti que tem solução
.
(b) Seja
uma solução da equação geral de Ricatti, ou seja,
. Mostre que
transforma a equação geral, dada no enunciado deste exercício, em
que é uma equação de Bernoulli.
(c) Sabendo que
é uma solução da equação de Ricatti
, determine as demais soluções.
(d) Sabendo que
é uma solução da equação de Ricatti
, determine as demais soluções.
(a) Mostre que a equação
(b) Seja
(c) Sabendo que
(d) Sabendo que
Passo 1
O enunciado trata de equações diferenciais do tipo Riccati, ou seja, de equações que podem ser escritas como
Precisamos fazer quatro coisas:
- Mostrar que a equação
é deste tipo e verificar que
é solução;
2) Para a equação geral
2) Para a equação geral
fazer a mudança
e obter uma Bernoulli para
;
3) Usar esse fato na Riccati
3) Usar esse fato na Riccati
para determinar sua solução geral;
4) Fazer o mesmo na Riccati
4) Fazer o mesmo na Riccati
Passo 2
(a) Começamos reescrevendo
Logo é da forma
com
na verdade expandindo corretamente temos
de modo que
e o termo em
soma-se a
.
Para verificar que é solução basta substituir:
Para verificar que
logo os dois lados coincidem e
é solução.
Passo 3
(b) Partimos da Riccati geral
e supondo que
satisfaz
Definimos
. Então
Substituindo em
dá
Como
, subtraindo essa igualdade acima resulta
Reagrupando,
que é uma equação de Bernoulli de expoente
.
Passo 4
(c) Na Riccati
temos
,
,
e solução particular
. Pelo item (b)
satisfaz
Esta é Bernoulli de ordem
. Fazendo
obtém-se a equação linear
O fator integrante é
, logo
Revertendo
e
, a solução geral é
Passo 5
(d) Na Riccati
temos
,
,
e solução particular
. Pelo item (b)
satisfaz
Fazendo
vem a linear
com fator integrante
, e
Revertendo
e
, a solução geral é
Resposta
(a) É Riccati com
,
,
e verifica-se que
satisfaz a equação.
(b) Com obtém-se a Bernoulli
.
(c) Solução geral
(b) Com
(c) Solução geral
(d) Solução geral