[Equações de Ricatti] Uma equação de Ricatti é uma equação diferencial ordinária do tipo
y^prime+p(x) y=g(x) y^2+h(x)
Observe que quando h(x) equiv 0, obtemos a equação de Bernoulli.
(a) Mostre que a equação y^prime=x^3(y-x)^2+y / x é uma equação de Ricatti que tem solução y=x.
(b) Seja z uma solução da equação geral de Ricatti, ou seja, z^prime+p(x) z=g(x) z^2+h(x). Mostre que w=y-z transforma a equação geral, dada no enunciado deste exercício, em
w^prime+(p-2 g z) w=g w^2,
que é uma equação de Bernoulli.
(c) Sabendo que y(x)=x é uma solução da equação de Ricatti y^prime+x^3 y-x^2 y^2=1, determine as demais soluções.
(d) Sabendo que y(x)=x^2 é uma solução da equação de Ricatti y^prime=y^2+2 x-x^4, determine as demais soluções.

Passo 1

O enunciado trata de equações diferenciais do tipo Riccati, ou seja, de equações que podem ser escritas como
y'+p(x),y ;=;g(x),y^2+h(x)
Precisamos fazer quatro coisas:
  1. Mostrar que a equação
y' ;=;x^3(y-x)^2+ yx
é deste tipo e verificar que y=x é solução;
2) Para a equação geral
z'+p(x),z ;=;g(x),z^2+h(x),
fazer a mudança w=y-z e obter uma Bernoulli para w;
3) Usar esse fato na Riccati
y'+x^3y - x^2y^2=1,com solução particular y=x, çã
para determinar sua solução geral;
4) Fazer o mesmo na Riccati
y'=y^2+2x - x^4,com solução particular y=x^2 çã

Passo 2

(a) Começamos reescrevendo
y' ;=;x^3(y-x)^2+ yx ;Longrightarrow; y' - yx ;=;x^3y^2-2x^4y + x^5
Logo é da forma y'+p(x)y = g(x)y^2 + h(x) com
p(x)=-1x, g(x)=x^3, h(x)=-2x^4y + x^5 (mas note que em Riccati h não depende de y), ã
na verdade expandindo corretamente temos
y' - yx = x^3y^2 -2x^4y + x^5 ;=;x^3y^2 +l(-2x^4r)y + x^5,
de modo que h(x)=x^5 e o termo em -2x^4y soma-se a p(x)y.
Para verificar que y(x)=x é solução basta substituir:
y=x;Longrightarrow;y'=1, x^3(y-x)^2+ yx = x^3cdot0^2 + x x =1,
logo os dois lados coincidem e y=x é solução.

Passo 3

(b) Partimos da Riccati geral
y'+p,y = g,y^2+h,
e supondo que z satisfaz
z'+p,z = g,z^2+h
Definimos w=y-z. Então
y = w+z Longrightarrow y' = w' + z'
Substituindo em y'+p,y=g,y^2+h
w' + z' + p,(w+z) ;=; g,(w+z)^2+h
Como z'+p,z = g,z^2+h, subtraindo essa igualdade acima resulta
w' + p,w ;=;gl((w+z)^2-z^2r) = g,(2z,w + w^2) = 2g,z,w + g,w^2
Reagrupando,
w' +l(p-2g,zr)w = g,w^2,
que é uma equação de Bernoulli de expoente 2.

Passo 4

(c) Na Riccati
y'+x^3y - x^2y^2=1
temos p=x^3, g=x^2, h=1 e solução particular z(x)=x. Pelo item (b) w=y-x satisfaz
w' + l(x^3 - 2x^2cdot xr)w = x^2,w^2 ;Longrightarrow; w' - x^3 w = x^2,w^2
Esta é Bernoulli de ordem 2. Fazendo u=1/w obtém-se a equação linear
u' + x^3,u = -,x^2
O fator integrante é exp(tfracx^44), logo
u,e^x^4/4 = -!integral x^2,e^x^4/4,dx + C
Revertendo w=1/u e y=w+x, a solução geral é
y(x) = x + 1 e^-x^4/4l(C - integral^x t^2,e^t^4/4,dtr)

Passo 5

(d) Na Riccati
y'=y^2 + 2x - x^4
temos p=0, g=1, h=2x - x^4 e solução particular z(x)=x^2. Pelo item (b) w=y-x^2 satisfaz
w' + (0 - 2cdot1cdot x^2),w = 1cdot w^2 ;Longrightarrow; w' - 2x^2,w = w^2
Fazendo u=1/w vem a linear
u' + 2x^2,u = -1,
com fator integrante exp(2x^3/3), e
u,e^2x^3/3 = -!integral e^2t^3/3,dt + C
Revertendo w=1/u e y=w+x^2, a solução geral é
y(x) = x^2 + 1 e^-2x^3/3l(C - integral^x e^2t^3/3,dtr)

Resposta

(a) É Riccati com p(x)=-1/x, g(x)=x^3, h(x)=x^5 e verifica-se que y=x satisfaz a equação.
(b) Com w=y-z obtém-se a Bernoulli
w'+(p-2gz)w = g,w^2.
(c) Solução geral
y(x) = x + 1e^-x^4/4l(C - integral^x t^2,e^t^4/4,dtr)
(d) Solução geral
y(x) = x^2 + 1e^-2x^3/3l(C - integral^x e^2t^3/3,dtr)

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