Determine se a equação diferencial dada é ou não exata. Para as exatas determine suas soluções gerais e não deixe de testar as soluções encontradas.
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial na forma
.
O conteúdo aqui é o de equações exatas. Vamos testar a exatidão e, se exata, encontrar uma função potencial tal que
O conteúdo aqui é o de equações exatas. Vamos testar a exatidão e, se exata, encontrar uma função potencial
onde
.
Passo 2
Identificamos
Calculamos as derivadas parciais:
Como
, a equação é exata.
Passo 3
Procuramos
tal que
. Integrando em relação a
:
onde
é função arbitrária de
. Agora impomos
logo
e
.
Passo 4
Assim a função potencial fica
(até constante) e a solução implícita geral é
onde
é constante de integração.
Passo 5
Testamos diferenciando implicitamente
:
que coincide com a equação original, confirmando a solução.
Resposta
A equação é exata e sua solução geral é
ou equivalentemente