Determine se a equação diferencial dada é ou não exata. Para as exatas determine suas soluções gerais e não deixe de testar as soluções encontradas.
y d x+x d y=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial na forma
,y,dx + x,dy = 0.
O conteúdo aqui é o de equações exatas. Vamos testar a exatidão e, se exata, encontrar uma função potencial Psi(x,y) tal que
partial Psipartial x=M(x,y), partial Psipartial y=N(x,y),
onde M(x,y),dx+N(x,y),dy=0.

Passo 2

Identificamos
M(x,y)=y, N(x,y)=x
Calculamos as derivadas parciais:
partial Mpartial y =partialpartial y(y)=1, partial Npartial x =partialpartial x(x)=1
Como partial M/partial y = partial N/partial x, a equação é exata.

Passo 3

Procuramos Psi(x,y) tal que partial Psi/partial x = y. Integrando em relação a x:
Psi(x,y)=integral y,dx = x,y + h(y),
onde h(y) é função arbitrária de y. Agora impomos
partial Psipartial y = x + h'(y) stackrel!= N(x,y)=x,
logo h'(y)=0 e h(y)=constante.

Passo 4

Assim a função potencial fica Psi(x,y)=x,y (até constante) e a solução implícita geral é
Psi(x,y)=C Longrightarrow x,y = C,
onde C é constante de integração.

Passo 5

Testamos diferenciando implicitamente x,y=C:
d(x,y)=y,dx + x,dy = 0,
que coincide com a equação original, confirmando a solução.

Resposta

A equação é exata e sua solução geral é
x,y = C,
ou equivalentemente
y = Cx

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