Determine se a equação diferencial dada é ou não exata. Para as exatas determine suas soluções gerais e não deixe de testar as soluções encontradas.
y^{3}+3 x y^{2} y^{\prime}=0
y^{3}+3 x y^{2} y^{\prime}=0
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial
e pede para verificar se ela é exata e, em caso afirmativo, encontrar a solução geral. O conteúdo aqui é de equações diferenciais exatas: vamos colocar a equação na forma
e testar se
.
Passo 2
Reescrevendo a equação dada em forma diferencial, temos
Aqui identificamos
Passo 3
Para a exatidão, calculamos as derivadas parciais:
Como
, a equação é exata.
Passo 4
Para achar a função potencial
tal que
integramos em relação a
:
onde
é uma função a determinar. Agora usamos
que deve ser igual a
. Logo
Passo 5
Com isso, a função potencial é
e a solução implícita geral fica
onde
é uma constante arbitrária.
Passo 6
Teste da solução: diferenciando
obtemos
que é exatamente a equação original. Logo a solução está correta.
Resposta
A equação é exata, e a solução geral é