Determine se a equação diferencial dada é ou não exata. Para as exatas determine suas soluções gerais e não deixe de testar as soluções encontradas.
y^{3}+3 x y^{2} y^{\prime}=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
y^3 + 3,x,y^2,y' = 0
e pede para verificar se ela é exata e, em caso afirmativo, encontrar a solução geral. O conteúdo aqui é de equações diferenciais exatas: vamos colocar a equação na forma
M(x,y),dx + N(x,y),dy = 0
e testar se partial M/partial y = partial N/partial x.

Passo 2

Reescrevendo a equação dada em forma diferencial, temos
y^3,dx + 3,x,y^2,dy = 0
Aqui identificamos
M(x,y) = y^3, N(x,y) = 3,x,y^2

Passo 3

Para a exatidão, calculamos as derivadas parciais:
partial Mpartial y = partial (y^3)partial y = 3,y^2,
partial Npartial x = partial (3,x,y^2)partial x = 3,y^2
Como partial M/partial y = partial N/partial x, a equação é exata.

Passo 4

Para achar a função potencial phi(x,y) tal que
partial phipartial x = M = y^3,
integramos em relação a x:
phi(x,y) = integral y^3,dx = x,y^3 + h(y),
onde h(y) é uma função a determinar. Agora usamos
partial phipartial y = partial (x,y^3 + h(y))partial y = 3,x,y^2 + h'(y)
que deve ser igual a N = 3,x,y^2. Logo
3,x,y^2 + h'(y) = 3,x,y^2 Longrightarrow h'(y) = 0 Longrightarrow h(y) = constante

Passo 5

Com isso, a função potencial é
phi(x,y) = x,y^3 + constante
e a solução implícita geral fica
x,y^3 = C,
onde C é uma constante arbitrária.

Passo 6

Teste da solução: diferenciando x,y^3=C obtemos
y^3 + xcdot 3,y^2,y' = 0,
que é exatamente a equação original. Logo a solução está correta.

Resposta

A equação é exata, e a solução geral é
x,y^3 = C

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