Use que F^(n)(s)=L(-1)^n f(t) para encontrar a transformada de Laplace
y^prime prime+4 y^prime+4 y=g(t), y(0)=2, y^prime(0)=-3

Passo 1

O enunciado dá a EDO de segunda ordem
y'' + 4y' + 4y = g(t),
com condições iniciais y(0)=2 e y'(0)=-3, e pede a transformada de Laplace Y(s)= Ly(t). Para isso, vamos usar as propriedades
Ly' = sY(s) - y(0), Ly'' = s^2Y(s) - s,y(0) - y'(0)

Passo 2

Aplicando L em cada termo da EDO:
Ly'' + 4, Ly' + 4, Ly = Lg(t)

Passo 3

Substituindo as fórmulas das derivadas e as condições iniciais y(0)=2, y'(0)=-3, e definindo G(s)= Lg(t), vem
(s^2Y - scdot2 - (-3)) ;+; 4,(sY - 2) ;+; 4Y ;=; G(s)
Ou seja,
s^2Y - 2s + 3 + 4sY - 8 + 4Y = G(s) Longrightarrow (s^2+4s+4),Y(s) +(-2s-5)=G(s)

Passo 4

Isolando Y(s):
(s+2)^2,Y(s) = G(s) + 2s + 5 Longrightarrow Y(s) = G(s) + 2s + 5(s+2)^2

Resposta

Y(s) = G(s) + 2s + 5(s+2)^2

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