Determine se a equação diferencial dada é ou não exata. Para as exatas determine suas soluções gerais e não deixe de testar as soluções encontradas.
(5 x+4 y) d x+(4 x-8 y^3) d y=0

Passo 1

O enunciado apresenta a equação diferencial
(5x+4y),dx + (4x - 8y^3),dy = 0
e pede para verificar se ela é exata. Se for, devemos encontrar sua solução geral e testar que a solução realmente satisfaz a equação original.

Passo 2

Seja
M(x,y) = 5x+4y, N(x,y) = 4x - 8y^3
Calculamos as derivadas parciais
partial Mpartial y = 4, partial Npartial x = 4
Como partial M/partial y = partial N/partial x, a equação é exata.

Passo 3

Buscamos uma função potencial Psi(x,y) tal que
partial Psipartial x = M(x,y) = 5x + 4y
Integramos em relação a x:
Psi(x,y) = integral (5x+4y),dx = 52x^2 + 4yx + g(y),
onde g(y) é uma “constante” de integração que pode depender de y.

Passo 4

Para determinar g(y), usamos
partial Psipartial y = 4x + g'(y) stackrel!= N(x,y) = 4x - 8y^3
Logo
g'(y) = -8y^3 Longrightarrow g(y) = integral -8y^3,dy = -2y^4 + C1

Passo 5

Substituindo g(y) obtemos a solução implícita
Psi(x,y) = 52x^2 + 4xy - 2y^4 = C,
onde C é constante arbitrária. Para testar, basta diferenciar Psi:
dPsi = (5x+4y),dx + (4x-8y^3),dy = 0,
que coincide com a equação dada.

Resposta

52x^2 + 4xy - 2y^4 = C

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