Determine se a equação diferencial dada é ou não exata. Para as exatas determine suas soluções gerais e não deixe de testar as soluções encontradas.
Passo 1
O enunciado apresenta a equação diferencial
e pede para verificar se ela é exata. Se for, devemos encontrar sua solução geral e testar que a solução realmente satisfaz a equação original.
Passo 2
Seja
Calculamos as derivadas parciais
Como
, a equação é exata.
Passo 3
Buscamos uma função potencial
tal que
Integramos em relação a
:
onde
é uma “constante” de integração que pode depender de
.
Passo 4
Para determinar
, usamos
Logo
Passo 5
Substituindo
obtemos a solução implícita
onde
é constante arbitrária. Para testar, basta diferenciar
:
que coincide com a equação dada.