Determine se a equação diferencial dada é ou não exata. Para as exatas determine suas soluções gerais e não deixe de testar as soluções encontradas.
e^{-\theta} d r-r e^{-\theta} d \theta=0

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a forma diferencial
e^-theta,dr ;-; r,e^-theta,dtheta ;=;0
é exata e, em caso afirmativo, encontrar sua solução geral. Isso envolve reconhecer uma equação diferencial na forma
M(r,theta),dr + N(r,theta),dtheta = 0,
testar a exatidão e, se exata, determinar uma função potencial Psi(r,theta) tal que
partial Psipartial r=M, partial Psipartial theta=N

Passo 2

Aqui
M(r,theta)=e^-theta, N(r,theta)=-,r,e^-theta
Calculamos as derivadas parciais para testar exatidão:
partial Mpartial theta =partialpartial thetal(e^-thetar) =-,e^-theta,
partial Npartial r =partialpartial rl(-r,e^-thetar) =-,e^-theta

Passo 3

Como
partial Mpartial theta ;=; partial Npartial r,
a forma diferencial é exata.

Passo 4

Para obter a função potencial Psi(r,theta), integramos M em relação a r:
Psi(r,theta) =integral e^-theta,dr =r,e^-theta + h(theta),
onde h(theta) é função a determinar. Depois, exigimos
partial Psipartial theta =partialpartial thetal(r,e^-theta+h(theta)r) =-,r,e^-theta + h'(theta)
que deve ser igual a N(r,theta)=-r,e^-theta. Daí
-,r,e^-theta+h'(theta) =-,r,e^-theta Longrightarrow h'(theta)=0
logo h(theta)=constante.

Passo 5

A solução geral fica
Psi(r,theta)=r,e^-theta=C,
ou seja
r,e^-theta=C,
com C constante arbitrária.

Passo 6

Para testar, derivamos implicitamente
dl(r,e^-thetar)=0 ;Longrightarrow; e^-theta,dr + r,dl(e^-thetar)=0 ;Longrightarrow; e^-theta,dr - r,e^-theta,dtheta=0,
que coincide com a equação dada.

Resposta

A equação é exata e sua solução geral é
r,e^-theta=C

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