Determine se a equação diferencial dada é ou não exata. Para as exatas determine suas soluções gerais e não deixe de testar as soluções encontradas.
e^{-\theta} d r-r e^{-\theta} d \theta=0
e^{-\theta} d r-r e^{-\theta} d \theta=0
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a forma diferencial
é exata e, em caso afirmativo, encontrar sua solução geral. Isso envolve reconhecer uma equação diferencial na forma
testar a exatidão e, se exata, determinar uma função potencial
tal que
Passo 2
Aqui
Calculamos as derivadas parciais para testar exatidão:
Passo 3
Como
a forma diferencial é exata.
Passo 4
Para obter a função potencial
, integramos
em relação a
:
onde
é função a determinar. Depois, exigimos
que deve ser igual a
. Daí
logo
.
Passo 5
A solução geral fica
ou seja
com
constante arbitrária.
Passo 6
Para testar, derivamos implicitamente
que coincide com a equação dada.
Resposta
A equação é exata e sua solução geral é