Determine se a equação diferencial dada é ou não exata. Para as exatas determine suas soluções gerais e não deixe de testar as soluções encontradas.
(x^2-y^2) d x+(x^2-2 x y) d y=0

Passo 1

O enunciado pede para testar se a equação diferencial
l(x^2-y^2r),dx+l(x^2-2xyr),dy=0
é exata. Se for exata, devemos encontrar uma função potencial Phi(x,y) tal que
partial Phipartial x=x^2-y^2, partial Phipartial y=x^2-2xy
e então escrever Phi(x,y)=C.

Passo 2

Identificamos
M(x,y)=x^2-y^2, N(x,y)=x^2-2xy
Para ser exata precisamos ter
partial Mpartial y ;=; partial Npartial x
Calculamos
partial Mpartial y =partialpartial y(x^2-y^2) =-2y, partial Npartial x =partialpartial x(x^2-2xy) =2x-2y

Passo 3

Como
-2y ;neq; 2x-2y
em geral, concluímos que
partial Mpartial yneqpartial Npartial x
e, portanto, a equação diferencial não é exata.

Resposta

A equação diferencial não é exata.

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