Determine se a equação diferencial dada é ou não exata. Para as exatas determine suas soluções gerais e não deixe de testar as soluções encontradas.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede para verificar se ela é exata e, se for, encontrar a solução geral.
Conteúdo: equações exatas e função potencial .
Conteúdo: equações exatas e função potencial
Passo 2
Defina
Calculamos as derivadas parciais
Como
, a equação é exata.
Passo 3
Procuramos
tal que
Integramos em relação a
:
onde
é uma função só de
.
Passo 4
Imponha agora
Mas calculando
pela forma encontrada,
Para coincidir com
deve valer
, logo
é constante.
Passo 5
A função potencial final é
A solução geral implícita da equação exata é
com
constante arbitrária.
Teste: derivando implicitamente
Teste: derivando implicitamente
reorganiza em
, que é exatamente a equação original.