Determine se a equação diferencial dada é ou não exata. Para as exatas determine suas soluções gerais e não deixe de testar as soluções encontradas.
(2 x+e^y) d x+x e^y d y=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
l(2x + e^yr),dx + x e^y,dy = 0
e pede para verificar se ela é exata e, se for, encontrar a solução geral.
Conteúdo: equações exatas e função potencial Psi(x,y).

Passo 2

Defina
M(x,y) = 2x + e^y, N(x,y) = x e^y
Calculamos as derivadas parciais
partial Mpartial y = e^y, partial Npartial x = e^y
Como partial M/partial y = partial N/partial x, a equação é exata.

Passo 3

Procuramos Psi(x,y) tal que
Psix = M = 2x + e^y
Integramos em relação a x:
Psi(x,y) = integral (2x + e^y),dx = x^2 + x e^y + h(y),
onde h(y) é uma função só de y.

Passo 4

Imponha agora
Psiy = N = x e^y
Mas calculando Psiy pela forma encontrada,
Psiy = partialpartial yl(x^2 + x e^y + h(y)r) = x e^y + h'(y)
Para coincidir com N = x e^y deve valer h'(y)=0, logo h(y) é constante.

Passo 5

A função potencial final é
Psi(x,y) = x^2 + x e^y + C1
A solução geral implícita da equação exata é
Psi(x,y) = C Longrightarrow x^2 + x e^y = C,
com C constante arbitrária.
Teste: derivando implicitamente
2x,dx + l(e^y + x e^y,dyr) = 0
reorganiza em (2x+e^y),dx + x e^y,dy=0, que é exatamente a equação original.

Resposta

x^2 + x e^y = C

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