Determine se a equação diferencial dada é ou não exata. Para as exatas determine suas soluções gerais e não deixe de testar as soluções encontradas.
x \frac{d y}{d x}=2 x e^{x}-y+6 x^{2}

Passo 1

O enunciado dá a equação
xdydx=2x e^x - y + 6x^2
e pede para verificar se ela é exata. Caso seja, encontrar a solução geral e testar que de fato satisfaz a equação.

Passo 2

Reescrevemos em forma diferencial M(x,y),dx + N(x,y),dy=0. Passos:
  1. Colocar todos os termos num só lado:
xdydx + y -2x e^x -6x^2 =0
  1. Multiplicamos por dx:
(y -2x e^x -6x^2),dx + x,dy =0
Logo
M(x,y)=y -2x e^x -6x^2, N(x,y)=x

Passo 3

Verificamos a exatidão pelo teste
partial Mpartial y =1, partial Npartial x =1
Como partial M/partial y=partial N/partial x, a equação é exata.

Passo 4

Procuramos uma função potencial psi(x,y) tal que
partial psipartial x=M e partial psipartial y=N
Integramos M em relação a x, tratando y como constante:
psi(x,y) =integrall(y -2x e^x -6x^2r),dx = yx -2integral x e^x,dx -6integral x^2,dx + h(y)
Calculemos as integrais:
integral x e^x,dx = x e^x - e^x, integral x^2,dx = x^33
Substituindo:
psi(x,y) = yx -2l(x e^x - e^xr) -6cdotx^33 + h(y) = yx -2x e^x +2e^x -2x^3 + h(y)

Passo 5

Agora impomos partial psi/partial y = N = x. Mas
partial psipartial y = x + h'(y) = x ;Longrightarrow; h'(y)=0 ;Longrightarrow; h(y)=constante
Logo a solução geral implícita é
psi(x,y)=yx -2x e^x +2e^x -2x^3 = C

Passo 6

Para testar, derivamos implicitamente
ddxl(yx -2x e^x +2e^x -2x^3r) = xdydx + y -2l(e^x + x e^xr) +2e^x -6x^2 =0
Reagrupando,
xdydx =2x e^x -y +6x^2,
que é exatamente a equação original. Teste confirmado.

Resposta

A equação é exata e sua solução geral implícita é
boxedxy -2x e^x +2e^x -2x^3 = C

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