Determine se a equação diferencial dada é ou não exata. Para as exatas determine suas soluções gerais e não deixe de testar as soluções encontradas.
x \frac{d y}{d x}=2 x e^{x}-y+6 x^{2}
x \frac{d y}{d x}=2 x e^{x}-y+6 x^{2}
Passo 1
O enunciado dá a equação
e pede para verificar se ela é exata. Caso seja, encontrar a solução geral e testar que de fato satisfaz a equação.
Passo 2
Reescrevemos em forma diferencial
. Passos:
- Colocar todos os termos num só lado:
- Multiplicamos por
:
Logo
Passo 3
Verificamos a exatidão pelo teste
Como
, a equação é exata.
Passo 4
Procuramos uma função potencial
tal que
Integramos
em relação a
, tratando
como constante:
Calculemos as integrais:
Substituindo:
Passo 5
Agora impomos
. Mas
Logo a solução geral implícita é
Passo 6
Para testar, derivamos implicitamente
Reagrupando,
que é exatamente a equação original. Teste confirmado.
Resposta
A equação é exata e sua solução geral implícita é