Determine se a equação diferencial dada é ou não exata. Para as exatas determine suas soluções gerais e não deixe de testar as soluções encontradas.
(x^3+3 x y^2) d x+(3 x^2 y+y^3) d y=0

Passo 1

Temos a equação diferencial
l(x^3+3xy^2r),dx+l(3x^2y+y^3r),dy=0
O conteúdo aqui é o de equações diferenciais exatas. Vamos primeiro testar se é exata, isto é, conferir se
partial M/partial y = partial N/partial x,
onde
M(x,y)=x^3+3xy^2, N(x,y)=3x^2y+y^3

Passo 2

Calculemos
partial Mpartial y =partialpartial yl(x^3+3xy^2r) =6xy,
partial Npartial x =partialpartial xl(3x^2y+y^3r) =6xy

Passo 3

Como partial M/partial y=partial N/partial x=6xy, a equação é exata.

Passo 4

Existe uma função potencial phi(x,y) tal que
phix=M e phiy=N. Integramos M em relação a x:
phi(x,y) =integrall(x^3+3xy^2r),dx =x^44+3x^2y^22+h(y),
onde h(y) é uma função a determinar.

Passo 5

Agora impondo phiy=N temos
phiy =partialpartial yl(x^44+3x^2y^22+h(y)r) =3x^2y+h'(y) =3x^2y+y^3
Logo
h'(y)=y^3 Longrightarrow h(y)=y^44+C1

Passo 6

Assim a função potencial completa é
phi(x,y) =x^44+3x^2y^22+y^44,
e a solução geral implícita da equação diferencial exata é
phi(x,y)=C Long<=ftrightarrow x^44+3x^2y^22+y^44=C

Passo 7

Teste diferenciando phi(x,y)=C:
dphi =l(x^3+3xy^2r),dx+l(3x^2y+y^3r),dy=0,
que é exatamente a equação original. Portanto está correto.

Resposta

x^44+3x^2y^22+y^44=C,
ou equivalentemente
x^4+6x^2y^2+y^4=K,
com K=4C.

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