Determine se a equação diferencial dada é ou não exata. Para as exatas determine suas soluções gerais e não deixe de testar as soluções encontradas.
Passo 1
Temos a equação diferencial
O conteúdo aqui é o de equações diferenciais exatas. Vamos primeiro testar se é exata, isto é, conferir se
,
onde
onde
Passo 2
Calculemos
Passo 3
Como
, a equação é exata.
Passo 4
Existe uma função potencial
tal que
e
. Integramos
em relação a
:
onde
é uma função a determinar.
Passo 5
Agora impondo
temos
Logo
Passo 6
Assim a função potencial completa é
e a solução geral implícita da equação diferencial exata é
Passo 7
Teste diferenciando
:
que é exatamente a equação original. Portanto está correto.
Resposta
ou equivalentemente
com
.