Determine se a equação diferencial dada é ou não exata. Para as exatas determine suas soluções gerais e não deixe de testar as soluções encontradas.
(y ln y-e^-x y) d x+(1y+x ln y) d y=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
l(yln y - e^-xyr),dx + l(tfrac1y + xln yr),dy = 0
e pede para verificar se ela é exata. Vamos chamar
M(x,y) = yln y - e^-xy, N(x,y) = tfrac1y + xln y,
e testar a condição de exatidão partial M/partial y = partial N/partial x.

Passo 2

Calculemos partial M/partial y.
Para M(x,y) = yln y - e^-xy temos
partialpartial yl(yln yr) = ln y + 1,
e
partialpartial yl(-e^-xyr) = -l(-x e^-xyr) = x e^-xy
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partial Mpartial y = ln y + 1 + x e^-xy

Passo 3

Calculemos partial N/partial x.
Para N(x,y)=tfrac1y+xln y só o termo xln y depende de x, de modo que
partial Npartial x = ln y

Passo 4

Comparando, vemos que
partial Mpartial y = ln y + 1 + x e^-xy neq partial Npartial x = ln y
Portanto a condição de exatidão não se satisfaz.

Resposta

A equação diferencial não é exata.

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