3^ a Questão ( ) (Valor 6.0 Pontos):

a) Dê um exemplo onde a soma de duas funções f e g é contínua num determinado ponto a, mas que ambas as funções sejam descontínuas em a.
b) Determine os intervalos onde x-2x^2+2 x-8 é contínua.
c) Determine se os pontos de descontinuidade da função f(x)=x^2-4x^4-16 são removível ou essencial.

Solução:

a) Considere as funções f(x)=1x e g(x)=-1x. Então, temos que ambas são funções são descontínuas em x=0. Contudo, a função (f+g)(x)=stackrelx0 é contínua na origem.
b) Observe que f(x)=x-2x^2+2 x-8 é uma função racional e, por isso, ela é contínua para todo x in R tal que x^2+2 x-8 neq 0, ou seja, (x+4)(x-2) neq 0. Portanto, f é contínua em X=R backslash-4,2.
c) Temos que f(x)=x^2-4x^4-16 é descontínua quando x^4-16=0, ou seja, quando
(x^2-4)(x^2+4)=0 Rightarrow x^2-4=0 Rightarrow x= pm 2
Assim, como
f(x)=x^2-4x^4-16=x^2-4(x^2-4)(x^2+4)=1x^2+4,
segue que
lim x -2 f(x)=lim x -2 1x^2+4=14^2+4=18 e lim x 2 f(x)=lim x 2 1x^2+4=14^2+4=18
Portanto, como lim x -2 f(x) e lim x 2 f(x) existem, segue que as descontinuidade da função f(x)=x^2-4x^4-16 são removíveis em x=-2 e x=2.

Passo 1

O enunciado aborda três itens sobre continuidade de funções e tipos de descontinuidade.
  • No item (a) precisamos dar um exemplo em que duas funções f e g sejam descontínuas num ponto a, mas cuja soma f+g seja contínua em a. Aqui usamos a ideia de funções com valor no ponto diferente do limite.
  • No item (b) analisamos uma função racional x-2x^2+2x-8; sabemos que toda função racional é contínua em todos os pontos em que o denominador não se anula.
  • No item (c) classificamos as descontinuidades de
f(x)=x^2-4x^4-16
identificando se são removíveis ou essenciais.

Passo 2

Item (a): Definimos
Para
logo e são descontínuas em . Mas
ou seja, .

Passo 3

Item (b): A função
h(x)=x-2x^2+2x-8
é racional. O denominador satisfaz
x^2+2x-8=(x+4)(x-2),
que se anula em x=-4 ou x=2. Fora esses valores, o denominador é não nulo e h é contínua. Logo os intervalos de continuidade são
(-infty,-4),;(-4,2),;(2,infty)

Passo 4

Item (c): Considere
f(x)=x^2-4x^4-16 =x^2-4(x^2-4)(x^2+4) =1x^2+4, xneqpm2
O denominador original se anula em x=pm2. Como ao fatorar podemos simplificar (x^2-4), a expressão reduz-se a tfrac1x^2+4, cujo limite em xtopm2 é finito e igual a
limxtopm21x^2+4=14+4=18
Assim as descontinuidades em x=-2 e x=2 são removíveis (não há divergência infinita nem salto permanente).

Resposta

a) Por exemplo,
f(x)=0,&xneq0,1,&x=0, g(x)=0,&xneq0,-1,&x=0
Ambas são descontínuas em 0, mas f+gequiv0 é contínua em 0.
b) Contínua em
(-infty,-4),;(-4,2),;(2,infty)
c) As descontinuidades em x=-2 e x=2 são removíveis.

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