a) Dê um exemplo onde a soma de duas funções e é contínua num determinado ponto , mas que ambas as funções sejam descontínuas em .
b) Determine os intervalos onde é contínua.
c) Determine se os pontos de descontinuidade da função são removível ou essencial.
Solução:
a) Considere as funções e . Então, temos que ambas são funções são descontínuas em . Contudo, a função é contínua na origem.
b) Observe que é uma função racional e, por isso, ela é contínua para todo tal que , ou seja, . Portanto, é contínua em .
c) Temos que é descontínua quando , ou seja, quando
Assim, como
segue que
Portanto, como e existem, segue que as descontinuidade da função são removíveis em e .
Passo 1
O enunciado aborda três itens sobre continuidade de funções e tipos de descontinuidade.
No item (a) precisamos dar um exemplo em que duas funções e sejam descontínuas num ponto , mas cuja soma seja contínua em . Aqui usamos a ideia de funções com valor no ponto diferente do limite.
No item (b) analisamos uma função racional ; sabemos que toda função racional é contínua em todos os pontos em que o denominador não se anula.
No item (c) classificamos as descontinuidades de
identificando se são removíveis ou essenciais.
Passo 2
Item (a): Definimos
Para
logo e são descontínuas em . Mas
ou seja, .
Passo 3
Item (b): A função
h(x)=x-2x^2+2x-8
é racional. O denominador satisfaz
x^2+2x-8=(x+4)(x-2),
que se anula em x=-4 ou x=2. Fora esses valores, o denominador é não nulo e h é contínua. Logo os intervalos de continuidade são
O denominador original se anula em x=pm2. Como ao fatorar podemos simplificar (x^2-4), a expressão reduz-se a tfrac1x^2+4, cujo limite em xtopm2 é finito e igual a
limxtopm21x^2+4=14+4=18
Assim as descontinuidades em x=-2 e x=2 são removíveis (não há divergência infinita nem salto permanente).
Resposta
a) Por exemplo,
f(x)=0,&xneq0,1,&x=0, g(x)=0,&xneq0,-1,&x=0
Ambas são descontínuas em 0, mas f+gequiv0 é contínua em 0.
b) Contínua em
(-infty,-4),;(-4,2),;(2,infty)
c) As descontinuidades em x=-2 e x=2 são removíveis.