Determine se a equação diferencial dada é ou não exata. Para as exatas determine suas soluções gerais e não deixe de testar as soluções encontradas.
(\operatorname{sen} x \cdot \operatorname{cosh} y) d x-(\cos x \cdot \operatorname{senh} y) d y=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
(sin x ,cosh y),dx ;-;(cos x ,sinh y),dy ;=;0
e pede para verificar se ela é exata. Se for, devemos encontrar a solução geral implícita e testar que ela gera a equação dada.

Passo 2

Identificamos
M(x,y)=sin x,cosh y, N(x,y)=-cos x,sinh y
Para checar exatidão, calculamos
partial Mpartial y =sin x;sinh y, partial Npartial x =partialpartial xl(-cos x,sinh yr) =sin x;sinh y

Passo 3

Como
partial Mpartial y =partial Npartial x =sin x,sinh y,
a equação é exata.

Passo 4

Buscamos uma função potencial psi(x,y) tal que
partial psipartial x=M, partial psipartial y=N
Integramos M em relação a x:
psi(x,y) =integral sin x,cosh y,dx =-cos x,cosh y + h(y),
onde h(y) é função a determinar. Agora impomos
partial psipartial y =-cos x,sinh y + h'(y) ;stackrel!=; N=-cos x,sinh y,
logo h'(y)=0 e h(y) é constante.

Passo 5

A solução implícita geral fica
psi(x,y)=-cos x,cosh y = C Long<=ftrightarrow cos x,cosh y = C1
Para testar, derivamos implicitamente
d(cos x,cosh y) =-sin x,cosh y,dx + cos x,sinh y,dy = 0,
que é exatamente a equação dada.

Resposta

cos x,cosh y = C, onde C é constante.

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