Determine se a equação diferencial dada é ou não exata. Para as exatas determine suas soluções gerais e não deixe de testar as soluções encontradas.
(\operatorname{sen} x \cdot \operatorname{cosh} y) d x-(\cos x \cdot \operatorname{senh} y) d y=0
(\operatorname{sen} x \cdot \operatorname{cosh} y) d x-(\cos x \cdot \operatorname{senh} y) d y=0
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial
e pede para verificar se ela é exata. Se for, devemos encontrar a solução geral implícita e testar que ela gera a equação dada.
Passo 2
Identificamos
Para checar exatidão, calculamos
Passo 3
Como
a equação é exata.
Passo 4
Buscamos uma função potencial
tal que
Integramos
em relação a
:
onde
é função a determinar. Agora impomos
logo
e
é constante.
Passo 5
A solução implícita geral fica
Para testar, derivamos implicitamente
que é exatamente a equação dada.