Mostre que as seguintes equações diferenciais ordinárias não são exatas. A seguir determine fatores integrantes
, e resolva-as.
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial
e pede para mostrar que ela não é exata, encontrar um fator integrante
e, por fim, resolver a equação. O conteúdo aqui é de equações diferenciais exatas e fatores integrantes.
Passo 2
Escrevendo na forma
, temos
Para ser exata precisaríamos
Mas
logo não são iguais e a equação não é exata.
Passo 3
Procuramos um fator integrante que dependa só de
. Há o teste
que é função só de
. Então
Passo 4
Multiplicando a equação original por
obtemos
Agora
e
satisfazem
logo a equação torna-se exata.
Passo 5
Buscamos
tal que
Integrando a primeira em
,
Derivando em
e igualando a
,
Logo
e a solução implícita é
com
constante.
Resposta
onde
é constante arbitrária.