Mostre que as seguintes equações diferenciais ordinárias não são exatas. A seguir determine fatores integrantes µ(x, y)µ, e resolva-as.
y d x-x d y=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
y,dx - x,dy = 0
e pede para mostrar que ela não é exata, encontrar um fator integrante mu(x,y) e, por fim, resolver a equação. O conteúdo aqui é de equações diferenciais exatas e fatores integrantes.

Passo 2

Escrevendo na forma M(x,y),dx + N(x,y),dy=0, temos
M(x,y)=y, N(x,y)=-x
Para ser exata precisaríamos
partial Mpartial y ;=; partial Npartial x
Mas
partial Mpartial y =1, partial Npartial x =-1,
logo não são iguais e a equação não é exata.

Passo 3

Procuramos um fator integrante que dependa só de x. Há o teste
partial Mpartial y-partial Npartial xN ;=; 1-(-1)-x ;=; -2x,
que é função só de x. Então
mu(x)=exp!l(integral -tfrac2x,dxr) =exp(-2ln|x|) = x^-2

Passo 4

Multiplicando a equação original por mu(x)=x^-2 obtemos
yx^2,dx ;-;xx^2,dy = yx^2,dx ;-;1x,dy =0
Agora M^*(x,y)=y/x^2 e N^*(x,y)=-1/x satisfazem
partial M^*partial y =1x^2, partial N^*partial x =1x^2,
logo a equação torna-se exata.

Passo 5

Buscamos psi(x,y) tal que
partial psipartial x = yx^2, partial psipartial y = -1x
Integrando a primeira em x,
psi(x,y) = integral yx^2,dx = -yx + h(y)
Derivando em y e igualando a N^*,
partial psipartial y = -1x + h'(y) ;=; -1x Longrightarrow h'(y)=0
Logo h(y)=C1 e a solução implícita é
psi(x,y)= -yx = C,
com C constante.

Resposta

yx=K,
onde K é constante arbitrária.

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