Determine se a equação diferencial dada é separável, linear ou ambas:
-d xd t+x t=e^x

Passo 1

O enunciado pede para classificar a equação diferencial de primeira ordem
-dxdt+x,t = e^x
como separável, linear ou ambas. O conteúdo envolvido é classificação de equações ordinárias de 1ª ordem:
– para linearidade, usamos a forma padrão dxdt+p(t),x=q(t);
– para separabilidade, buscamos dxdt=g(x),h(t).

Passo 2

Para testar linearidade, colocamos a ODE em forma padrão. Multiplicando tudo por -1 temos
dxdt - t,x = -,e^x
Aqui p(t)=-t e q(t)=-e^x. Como q depende de x, não de t apenas, a equação não é linear.

Passo 3

Para testar separabilidade, escrevemos
dxdt = x,t - e^x
Para ser separável precisaríamos algo como dxdt=g(x),h(t). Mas x,t - e^x não é produto de função só de x por função só de t, e sim soma de termos que misturam x e t. Logo não é separável.

Resposta

A equação não é nem linear nem separável.

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